Enunciado

Calcule a velocidade horizontal v com que o carrinho de 20   k g deve colidir na mola a fim de comprimi-la um máximo de 100   m m . A mola é conhecida como uma mola com “endurecimento”, uma vez que sua rigidez aumenta coma deflexão como mostrado no gráfico anexo.

Passo 1

Vamos lá! Pessoal, para resolver isto aqui temos que lembrar da seguinte equação de trabalho - energia:

U = Δ T

T 1 + U 1 - 2 = T 2

O trabalho U realizado por todas as forças e é igual a variação Δ E c na energia cinética da partícula.

Tendo a fórmula da variação da energia cinética, como será a variação dela teremos v i e v f :

T = 1 2 m v 2

E para nosso trabalho, como temos um gráfico da força pelo deslocamento, se integrarmos está área hachurada teremos como resultado o trabalho.

Será a soma das duas funções 20 x 2 + 10 x limitado pelo deslocamento horizontal de 0   a   0,1   m .

Teremos a nossa velocidade v 2 = 0 . Pois, estaremos calculando até a compressão máxima da mola logo o carrinho neste ponto estará com v = 0 .

E a nossa integral será negativa, pois, este é trabalho executado pela mola para parar o movimento do nosso carrinho.

Passo 2

Com esta explicação previa do que será a resolução, no passo 1, partiu resolve resta equação:

T 1 + - U 1 - 2 = T 2

m v 1 2 2 - ∫ 0 0,1 20 x 2 + 10 x d x = 1 2 m v 2 2

Substituindo valores:

1 2 20 v 1 2 - ∫ 0 0,1 20 x 2 + 10 x d x = 1 2 20 0 2  

Executando a integral e simplificando o outro lado igualdade:

10 v 1 2 - 20 x 3 3 + 5 x 2 0 0,1 = 0

Aplicando os limites de integração e multiplicando dos dois lados por - 1 :

20 0,1 3 3 + 5 ∙ 0,1 2     = 10 v 1 2

0,02 3 + 5 ∙ 0,1 2     = 10 v 1 2

0,566     = 10 v 1 2

Isolando v 1 :

v 1 = ± 0,566 10 = ± 0 , 237   m / s

Utilizaremos resposta positiva da velocidade, pois, estamos considerando toda velocidade indo em direção da mola como positiva e negativa se abastando dela.

Resposta

v 1 = 0 , 237   m / s

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