Enunciado

Calcule a velocidade de impacto de um corpo liberado a partir do repouso a uma altitude h = 800   k m . (a) suponha uma aceleração gravitacional constante g 0 = 9,81   m / s ² e (b) considere a variação de g com a altitude (veja a seção 1/5). Despreze os efeitos do arrasto atmosférico.

Passo 1

(a) Bom, se a gente supôr que a aceleração é constante a situação fica bastante simples. Vamos ter os seguintes valores:

v 0 = 0

s 0 = 0

s = 800.10 3

a = g

Perceba que aqui o sentido positivo é vertical para baixo. Como não estamos interessados no tempo, vamos usar a equação de Torricelli:

v 2 = v 0 2 + 2 a ( s - s 0 )

v = 2   a   s

v 2 = 2 ( 9,81 ) ( 800.10 3 )

v ≅ 3961,8   m / s

Passo 2

Beleza, agora vamos parar com as mentiras: vamos levar em conta a variação na aceleração da gravidade. Tudo fica muito mais interessante.

A fórmula para a aceleração da gravidade é:

g = G M r 2

E nesse caso r = s , já que o corpo cai em linha reta. Além disso, como estamos considerando apenas o efeito da gravidade, temos a = - g .

a = - G M y 2

Dessa vez colocamos um sinal negativo porque agora é mais fácil tomar o sentido vertical para cima como positivo.

Vamos usar a definição da aceleração:

a = d v d y d y d t = v d v d y

E então:

a   d y = v   d v

Substituindo a expressão de cima:

- G M y 2   d y = v   d v

Ótimo, podemos resolver essa equação diferencial para encontrar uma relação entre posição e velocidade.

Passo 3

Agora vamos integrar dos dois lados. Lembrando que y vai de y = R + h até y = R (onde R é o raio da Terra), enquanto v vai de v = 0 até o valor final que queremos descobrir:

- G M y 2   d y = v   d v

∫ R + h R - G M y 2   d y = ∫ 0 v v   d v

E resolvendo as integrais ficamos com o seguinte:

G M R - G M R + h = v 2 2

v = 2 G M 1 R - 1 R + h

Substituindo os valores numéricos vamos ficar com o seguinte resultado:

v = 2 ( 6,67.10 - 11 ) ( 5,97.10 24 ) 1 ( 6,371.10 6 ) - 1 ( 6,371.10 6 + 8.10 5 )

v = 3734,3   m / s

Pronto!

Resposta

(a) v = 3961,8   m / s

(b) v = 3743,3   m / s

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