Enunciado

O caminhão transporta uma bobina com 1500   m m de diâmetro de um cabo com massa de 0,75   k g por metro de comprimento. Existem 150 voltas na bobina cheia. A bobina vazia possui uma massa de 140   k g , com raio de giração de 530   m m . O caminhão isolado possui uma massa de 2030   k g , com centro de massa em G . Se o caminhão parte do repouso com uma aceleração inicial de 0,2 g , determine (a) a tração T no cabo onde ele se prende à parede e (b) a reação normal sobre cada par de rodas. Despreze a inércia de rotação das rodas do caminhão.

Passo 1

(a) Para encontrar a tração T no cabo, vamos considerar uma equação de momentos em relação ao centro da bobina:

∑ M O = I O α

Como a força peso age justamtne nesse centro O , a única força que produz momento em torno desse ponto é a tração T :

∑ M O = T r

E para encontrar o momento de inércia total precisamos somar o da bobina vazia e da corda:

I O = I b o b i n a + I c o r d a

I O = m k 2 + 150 ρ 2 π r r 2

I O = 140 0,530 2 + 150 0,75 1,5 π 1,5 2 2 = 338   k g ∙ m 2  

E a acelerção angular pode ser calculada usando a seguinte fórmula:

α = a r

Já que a aceleração a com que o cabo é puxado é igual à aceleração do caminhão que foi dada no enunciado:

α = 0,2 9,81 ( 1,5 / 2 ) = 2,62   r a d / s 2

E então:

T r = 338 2,62

T = 338 2,62 2 ( 1,500 ) = 1,18   k N

Passo 2

(b) Agora queremos encontrar as reações normais N A e N B sobre cada par de rodas. Precisamos de um diagrama das forças que agem sobre o caminhão.

Além das duas forças N A e N B agindo nas rodas, temos o peso m g agindo no centro de massa e as forças de contato da bobina, na direção vertical ( O x ) e horizontal ( O y ) :

Para encontrar as componente O x e O y , nós podemos aplicar a segunda lei de Newton sobre a bobina:

Começamos com a direção horizontal:

∑ F x = m a - = 140 +   150 0,75 1,5 π 0,2 g

∑ F x = 1315   N

E as forças que agem nessa direção são O x e T , então:

O x - 1180 = 1315

O x = 2495   N

E na direção vertical:

∑ F y = 0

140 +   150 0,75 1,5 π 9,81 = O y

O y = 6574   N

Passo 3

Beleza, agora que conhecemos mais variáveis, vamos voltar a pensar no caminhão ao invés da bobina:

Como o caminhão se move com aceleração a = 2 g , a força resultante que age sobre o seu centro de massa é:

F = m a = 2030 0,2 9,81 = 3983   N

E essa força está a uma distância perpendicular de 1,050   m do ponto A (ou B ), então se escrevermos uma equação de momentos em relação a esse ponto:

∑ M A = m a - d = 3983 1,05 = 4182   N ∙ m

E os momentos das outras forças em relação ao ponto A podem ser calculados a partir do desenho:

∑ M A = O y 0,750 + m g 1,8 - O x 2,4 - 3,6 N B

∑ M A = 6574 0,750 + 1,8 2030 9,81 - 2495 2,4 - 3,6 N B

∑ M A = 34788 - 3,6   N B

Então:

34788 - 3,6   N B = 4182

N B = 8,50   k N

E agora podemos usar a segunda lei de Newton na direção vertical para encontrar N A :

∑ F y = 0

N A + N B - m g - O y = 0

N A = 2030 9,81 + 6574 - 8500 = 1,80   k N

Resposta

(a) T = 1,18   k N .

(b) N A = 1,80   k N e N B = 8,50   k N .

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