Enunciado

Os pequenos roletes nas extremidades da barra esbelta uniforme de 3,6   k g estão limitados a se deslocar nas ranhuras que se situam em um plano vertical. No instante em que θ = 30 ° , a velocidade angular da barra é de 2   r a d / s no sentido horário. Determine a aceleração angular da barra, as reações em A e B , e as acelerações dos pontos A e B sob a ação da força P de 26   N . Despreze o atrito e a massa dos pequenos roletes.

Passo 1

Vamos começar com um diagrama que represente as forças que agem sobre a barra:

E então podemos aplicar a segunda lei de Newton nas direções vertical e horizontal:

∑ F y = m a - y

B cos ⁡ 15 ° - P sen ⁡ 15 ° - m g = m a - y  

E na horizontal:

∑ F x = m a - x

A + P cos ⁡ 15 ° + B sen ⁡ 15 ° = m a - x

E por fim, o momento resultante em relação ao centro de massa é:

∑ M G = I - α

- A l 2 cos ⁡ 30 ° + B l 2 cos ⁡ 45 ° + P l 2 sen ⁡ 45 ° = 1 12 m l 2 α

Simplificando essa equação:

- 3 4 A + 2 4 B + 2 4 P = m l α 12

E então ficamos com um sistema de três equações:

- 3 4 A + 2 4 B + 2 4 P = m l α 12 A + P cos ⁡ 15 ° + B sen ⁡ 15 ° = m a - x B cos ⁡ 15 ° - P sen ⁡ 15 ° - m g = m a - y

Passo 2

Precisamos encontrar expressões para as componentes da aceleração do centro de massa.

Vamos começar olhando para a aceleração da roda em A :

a → A = a → G + a → A / G

A aceleração da roda A aponta na direção do eixo vertical então:

a → A = a A   j ^

E a aceleração do centro de massa é:

a → G = a - x   i ^ + a - y   j ^

E a acelerção relativa entre os dois terá uma componente tangencial e outra centrípeta:

a → A / G = α → × r → A / G - ω 2 r → A / G

E o vetor r → A / G é a posição do ponto A em relação ao centro de massa. Podemos escrever esse vetor olhando para o desenho:

r → A / G = 1,2 2 - sen ⁡ 30 ° i ^ + cos ⁡ 30 °   j ^

Vamos usar isso para calcular os dois termos da aceleração relativa. Começando pela componete tangencial:

α → × r → A / G = α   k ^ × 0,6 - sen ⁡ 30 ° i ^ + cos ⁡ 30 °   j ^

α → × r → A / G = i ^ j ^ k ^ 0 0 α - 0,6 sen ⁡ 30 ° 0,6 cos ⁡ 30 ° 0 = - 0,6 α sen ⁡ 30 ° j ^ - 0,6 α cos ⁡ 30 ° i ^

E agora a centrípeta:

ω 2 r → A / G = ω 2 0,6 - sen ⁡ 30 ° i ^ + cos ⁡ 30 °   j ^

ω 2 r → A / G = - 0,6 ω 2 sen ⁡ 30 °   i ^ + 0,6 ω 2 cos ⁡ 30 ° j ^

Agora vamos substituir tudo na equação principal.

a → A = a → G + a → A / G

a A j ^ = a - x   i ^ + a - y   j ^ + - 0,6 α sen ⁡ 30 ° j ^ - 0,6 α cos ⁡ 30 ° i ^ - - 0,6 ω 2 sen ⁡ 30 °   i ^ + 0,6 ω 2 cos ⁡ 30 ° j ^

E podemos transformar essa equação vetorial em um sistema de duas equações, uma para cada componente:

0 = a - x - 0,6 α cos ⁡ 30 ° + 0,6 ω 2 sen ⁡ 30 ° a A = a - y - 0,6 α sen ⁡ 30 ° - 0,6 ω 2 cos ⁡ 30 °

Passo 3

Agora vamos fazer praticamente a mesma coisa, mas para a aceleração em B . Muitas coisas serão iguais, ou muito parecidas:

a → B = a → G + a → B / G

A aceleração da roda B tem componentes nos dois eixos, então:

a → B = a B cos ⁡ 15 °   i ^ - sen ⁡ 15 °   j ^

E a aceleração do centro de massa é:

a → G = a - x   i ^ + a - y   j ^

E a acelerção relativa entre os dois terá uma componente tangencial e outra centrípeta:

a → B / G = α → × r → B / G - ω 2 r → B / G

E o vetor r → B / G é a posição do ponto B em relação ao centro de massa. Podemos escrever esse vetor olhando para o desenho:

r → B / G = 1,2 2 sen ⁡ 30 ° i ^ - cos ⁡ 30 °   j ^

Vamos usar isso para calcular os dois termos da aceleração relativa. Começando pela componete tangencial:

α → × r → A / G = α   k ^ × 0,6 sen ⁡ 30 ° i ^ - cos ⁡ 30 °   j ^

α → × r → A / G = i ^ j ^ k ^ 0 0 α 0,6 sen ⁡ 30 ° - 0,6 cos ⁡ 30 ° 0 = 0,6 α sen ⁡ 30 ° j ^ + 0,6 α cos ⁡ 30 ° i ^

E agora a centrípeta:

ω 2 r → A / G = ω 2 0,6 sen ⁡ 30 ° i ^ - cos ⁡ 30 °   j ^

ω 2 r → A / G = 0,6 ω 2 sen ⁡ 30 °   i ^ - 0,6 ω 2 cos ⁡ 30 ° j ^

Agora vamos substituir tudo na equação principal.

a → A = a → G + a → G / A

a A j ^ = a - x   i ^ + a - y   j ^ + 0,6 α sen ⁡ 30 ° j ^ + 0,6 α cos ⁡ 30 ° i ^ - 0,6 ω 2 sen ⁡ 30 °   i ^ - 0,6 ω 2 cos ⁡ 30 ° j ^

E podemos transformar essa equação vetorial em um sistema de duas equações, uma para cada componente:

a B cos ⁡ 15 ° = a - x + 0,6 α cos ⁡ 30 ° - 0,6 ω 2 sen ⁡ 30 ° - a B sin ⁡ 15 ° = a - y + 0,6 α sen ⁡ 30 ° + 0,6 ω 2 cos ⁡ 30 °

Passo 4

Podemos juntar tudo isso em um único sistema de sete equações:

a B cos ⁡ 15 ° = a - x + 0,6 α cos ⁡ 30 ° - 0,6 ω 2 sen ⁡ 30 ° - a B sin ⁡ 15 ° = a - y + 0,6 α sen ⁡ 30 ° + 0,6 ω 2 cos ⁡ 30 ° 0 = a - x - 0,6 α cos ⁡ 30 ° + 0,6 ω 2 sen ⁡ 30 ° a A = a - y - 0,6 α sen ⁡ 30 ° - 0,6 ω 2 cos ⁡ 30 ° - 3 4 A + 2 4 B + 2 4 P = m l α 12 A + P cos ⁡ 15 ° + B sen ⁡ 15 ° = m a - x B cos ⁡ 15 ° - P sen ⁡ 15 ° - m g = m a - y

E sete variáveis desconhecidas: ( A , B , a A , a B , a - x , a - y , α ). Vamos substituir os valores numéricos que conhecemos:

0,966 a B = a - x + 0,520 α - 1,2 - 0,259 a B = a - y + 0,3 α + 2,08 0 = a - x - 0,520 α + 1,2 a A = a - y - 0,3 α - 2,08 - 0,433 A + 0,534   B + 9,192 = 0,36 α A + 25,11 + 0,259   B = 3,6 a - x 0,966   B - 42,05 = 3,6 a - y

Resolver um sistema de sete equações manualmente pode ser quase impossível, então vamos simplesmente escrever o sistema em forma de matriz e depois usar um computador para resolver o problema:

0 0 0 0,966 - 1 0 - 0,520 0 0 0 - 0,259 0 - 1 - 0,3 0 0 0 0 - 1 0,520 0 0 0 1 0 0 - 1 0,3 - 0,433 0,534 0 0 0 0 - 0,36 1 0,259 0 0 - 3,6 0 0 0 0,966 0 0 0 - 3,6 0 A B a A a B a - x a - y α = - 1,2 2,08 1,2 - 2,08 - 9,192 - 25,11 42,05

E resolvendo esse sistema com algum programa, encontramos os seguintes valores:

A = 5,1   N

B = 1,2   N

a A = 20   m / s 2

a B = 17   m / s 2

α = 18,2   r a d / s 2

E os demais valores não foram pedidos no enunciado.

Resposta

As forças são R A = 5,1   N e R B = 1,2   N . As acelerações são a A = 20   m / s 2 , a B = 17   m / s 2 e α = 18,2   r a d / s 2 .

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