Enunciado

A carga é sustentada pelos quatro cabos de aço inoxidável 304 conectados aos elementos rígidos A B e D C . Determine o ângulo de inclinação de cada elemento após a aplicação da carga de 2,5   k N . A posição original dos elementos era horizontal e cada cabo tem área de seção transversal de 16   m m 2 .

Passo 1

Nessa questãonós desejamos encontrar o ângulo de inclinação dos elementos rígidos A B   e   D C . Estamos lidando com o aço inoxidável 304 temos que seu módulo de elasticidade é tabelado e dado por 193   G P a . A gente vai precisar encontrar primeiro o descloamento vertical que vai nos ajudar a encontrar o ângulo. A fórmula do deslocamento é.

δ = F o r ç a   a p l i c a d a ⋅ ( c o m p r i m e n t o   e m   a n á l i s e ) M o d .   d e   e l a s t i c i d a d e ⋅ ( Á r e a   e m   a n á l i s e ) = P L E A

Bacana, mas a gente não tem os esforços em cada cabo, e aí? Aqui que entra a ideia pra resolver a questão: Vamos separar a estrutura em duas e montar dois diagramas de corpo livre.

Essa barra vai transferir o esforço F a h invertido para a barra de cima, e o outro DCL vai ficar:

Já aproveitando o gancho bora dá uma anotada nos dados da nossa questão de acordo com a notação que usaremos, assim temos

P = 2,5   k N ,     A = 16 m m 2 ,     E = 193 G P a

E ainda da geometria do problema podemos concluir que:

L d c = L d h + L h c ,     L a b = L a i + L i b  

Passo 2

Com o nosso diagrama de corpo livre da barra de baixo, vamos calcular o esforço na barra BG, escolhendo o ponto A para calcular o equilíbrio dos momentos, considerando o sentido horário negativo.

∑ M a = F b g ⋅ 1,2 m - P ⋅ 0,9 m = 0

F b g ⋅ 1,2 m = 2,5 k N . 0,9 m

E aí:

F b g = 2,5 × 0,9 1,2 = 1,875   k N

Para encontrarmos a força na barra ah, vamos fazer o equilíbrio das forças verticais.

∑ F y = F a h + F b g - P = 0

F a h = - F b g + P

Substituindo a gente tem.

F a h = 2,5 - 1,875 = 0,625   k N

Para a barra mais elevada, também adotando, o sentido anti horário como positivo, vamos usar o segundo diagrama e calcular o somatório dos momentos no ponto D.

∑ M d = F c f ⋅ 0,9 m - F a h ⋅ 0,3 m = 0

F c f ⋅ 0,9 m = F a h ⋅ 0,3 m

Isolando fcf e substituindo fah, temos:

F c f = 0,625 × 0,3 0,9 = 0,2083   k N

De forma análoga ao anterior, para as forças verticais nós teremos

∑ F y = F c f + F d e - F a h = 0

F d e = - F c f + F a h

Substituindo.

F d e = 0,625 - 0,2083 = 0,4167   k N

Passo 3

Agora é o momento que você dá uma pausa de uns 15 segundinhos pra dar aquela respirada e voltar pra acabar a questão. Pois bem depois de dar aquela respirada, como agora temos todos os valores das forças podemos calcular o alongamento vertical em I , no entanto, vamos descobrir alguns alongamentos antes que servirão de base para esse cálculo. Sendo assim, teremos

δ D = F d e ⋅ L d e E ⋅ A = 0,4167 ⋅ 900 m m 193   G P a ⋅ 16 m m 2 ≈ 0,1214   m m

δ c = F c f ⋅ L c f E ⋅ A = 0,2083 ⋅ 9 00 m m 193   G P a ⋅ 16 m m 2 ≈ 0,0607   m m

O alongamento em H vai ser dado por uma combinação de alongamentos, vamos precisar desenhar a barra antes e depois dos deslocamentos pra enxergar melhor.

A barra em cinza é na posição inicial, e em branco é após o deslocamento. Pela geometria a gente vê que:

δ h = δ c + x

E esse valor x pode ser encontrado por semelhança de triângulos.

x -   δ D - δ C

0,6     -     0,9

Então:

x = 0,6 0,9 ⋅ δ d - δ c = 2 3 ( 0,1214 - 0,0607   )

x = 0,04047 m m

E enfim:

δ h = 0,0607 + 0,04047 ≅ 0,101 2 m m

Esse alongamente servirá de base para calcularmos o deslocamento em A que será dado por:

δ A = δ h + F a h ⋅ L a h E ⋅ A

δ A = 0,10119819   m m + 0,625   k N ⋅ 0,54 m 193   G P a ⋅ 16 m m 2 ≅ 0,210 m m  

Agora, nosso último alongamento que vamos precisar para matar essa questão será o alongamento em B dado por

δ b = F b g ⋅ L b g E ⋅ A = 1,875   k N ⋅ 1,5 m 193   G P a ⋅ 16 m m 2 ≈ 0,91 1 m m

Passo 4

E enfim a gente pode calcular aquele belo ângulo que tanto queríamos, vamos olhar a figura da barra dc deslocada e vamos entender melhor.

Bacana! Daí tiramos uma relação de tangente que nos dá:

tan ⁡ α d c = δ d - δ c L d c

Aplicando a função inversa da tangente em ambos os lados (já que queremos saber só o ângulo) vamos ter

α d c = arctan ⁡ δ d - δ c L d c = arctan ⁡ 0,121 4   - 0,0607 900

→ α d c ≈ 0,0039 °

De maneira análoga, vamos encontrar o ângulo para A B fazendo

tan ⁡ β a b = δ b - δ a L a b

β a b = arctan ⁡ δ b - δ a L a b

β a b = arctan ⁡ 0,91 1 - 0,210 12 00 ≈ β a b = 0,0334 °

Resposta

α d c = 0,0039 °   e   α a b = 0,0334 °

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