Enunciado

O eixo de cobre está sujeito às cargas axiais mostradas na figura. Determine o deslocamento da extremidade A em relação à extremidade D se os diâmetros de cada segmento forem d A B   =   20   m m ,   d B C   =   25   m m   e   d C D   =   12   m m . Considere E c o b r e   =   126   G P a .

Passo 1

Fala queridões, tudo certo com vocês?

Bora pra mais uma resolução marotinha? Vamos (só eu respondo 😕). Antes de tudo, vamos deixar aqui anotado os dados que nós temos e os que podemos inferir a partir do nosso enunciado

L a b = 2   m ,     L b c = 3,75 m ,     L c d = 2,5 m

d a b = 20   m m ,     d b c = 25   m m ,     d c d = 12   m m

P a = - 40 k N ,     P b = 25 k N ,     P c = 10 k N ,     P d = - 30 k N

Além disso, como o material tratado no problema é o cobre temos que o módulo de elasticidade é tabelado e dado por E = 126 G P a . Pois bem, qual vai ser o nosso plano de ação para essa questão? Vamos dividir a nosso eixo em três pedaços onde calcularemos o deslocamento da parte A B   , B C   e da parte C D separadamente e, no fim de tudo, o deslocamento de A em relação a D será dado pela soma desses três valores. Para calcularmos esse deslocamento horizontal vamos usar a seguinte fórmula:

δ = P ⋅ L A ⋅ E

Onde L é a extensão do segmento que estamos analisando e a nossa área será dada pela seguinte expressão A = π 4 ⋅ d 2 .

Passo 2

Trabalhando primeiramente com o pedaço A B do nosso eixo nós teremos

Como nossa barra está em equilíbrio nós teremos que P a b = - 40 k N (lembrando que o sinal de negativo se dá por conta do referencial). Assim, utilizando a fórmula dada no passo anterior vamos ter

δ a b = P a ⋅ L a b A a b ⋅ E = - 40 k N ⋅ 2 m π 4 ⋅ d a b 2 ⋅ 126 G P a = - 40 k N ⋅ 2 m π 4 ⋅ 20   m m 2 ⋅ 126 G P a

Agora, vamos pegar para analisar o segmento A C do nosso eixo cujo esquemático é dado por

Novamente por conta do equilíbrio nós teremos que P b c = 10 k N e poderemos aplicar a fórmula do passo 1 adequando à esse caso em particular, ficando com

δ b c = ( P a + 2 P b ) ⋅ L b c A b c ⋅ E = ( - 40 k N + 50 k N ) ⋅ 3,75 m π 4 ⋅ d b c 2 ⋅ 126 G P a = ( - 40 k N + 50 k N ) ⋅ 3,75 m π 4 ⋅ 25 m m 2 ⋅ 126 G P a

Por fim, vamos analisar o último segmento do nosso eixo que é o C D dado por

Dessa forma, vamos encontrar P c d = 30 k N e nossa equação do passo 1 terá o seguinte formato

δ c d = P a + 2 P b + 2 P c ⋅ L c d A c d ⋅ E = - 40 k N + 50 k N + 20 k N ⋅ 2,5 m π 4 ⋅ d c d 2 ⋅ 126 G P a

δ c d = ( - 40 k N + 50 k N + 20 k N ) ⋅ 2,5 m π 4 ⋅ 12   m m 2 ⋅ 126 G P a

Pronto, agora temos tudo para calcularmos o deslocamento de A em relação a D basta que façamos a soma de todos os valores encontrados acima e voilà

δ A - D = δ a b + δ b c + δ c d ≈ 3,8483   m m

Acabou o problema sem desespero, deixa o desespero pra quem caiu na trolagem de zoar o coleguinha no instagram.

Resposta

δ A - D = 3,8483   m m

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