Enunciado

Quando o carrinho de montanha-russa está em B, ele tem uma velocidade escalar de 25 m/s, a qual está aumentando em a t = 3   m / s 2 . Determine a intensidade da aceleração do carrinho da montanha-russa nesse instante e o ângulo de direção que ela faz com o eixo x .

Passo 1

Precisamos determinar a intensidade da aceleração, e o ângulo que faz com o eixo x . Como já nos foi dado a sua componente tangencial, só precisamos calcular a sua componente normal. Mas aí a gente se questiona: e cadê o raio de curvatura? Este é o ponto mais difícil da questão. Para calcularmos o raio de curvatura, será necessário utilizarmos a seguinte equação:

ρ = 1 + d y d x 2 3 / 2 d 2 y d x 2

Obtido a função para o raio da curvatura, basta substituir o valor de x = 30 que obtemos o raio. Depois disto, basta utilizar as equações da cinemática para determinarmos as componentes da aceleração. Agora, a questão também nos pede o ângulo que a aceleração faz com o eixo x . Este dado será um pouco trabalhoso de obtermos, pois precisaremos fazer uma análise geométrica.

Passo 2

Antes de calcularmos a componente normal, precisamos determinar o raio de curvatura. Para isto, utilizaremos a fórmula do Passo 1. Primeiramente, derivaremos a função que governa a nossa curva duas vezes. Sendo assim:

y ' = d y d x = x 50

y ' ' = d 2 y d x 2 = 1 50

Substituindo na fórmula do raio de curvatura, temos:

ρ = 1 + x 2 2500 3 / 2 1 50

Quando x = 30 , temos:

ρ = 79,3   m

Passo 3

Calculando a componente normal, temos:

a n = v 2 ρ = 25 2 79,3 = 7,9   m / s 2

Portanto, a intensidade da aceleração é:

a = a t 2 + a n 2

a = 3 2 + 7,9 2

a = 8,4   m / s 2

Passo 4

Agora, só nos falta determinar o ângulo. Para isto, vejamos a figura abaixo, em que detalha os ângulos formados pelos vetores da aceleração.

O ângulo que queremos determinar é o α . E Sabemos que:

α + ϕ = tan - 1 ⁡ a n a t

α + ϕ = tan - 1 ⁡ 7,9 3 = 69,2 °

A questão é quem é este ângulo ϕ . Ele é a inclinação da reta tangente a função y = x 2 / 100 no ponto x = 30 , isto é:

ϕ = tan - 1   ⁡ d y d x x = 30 = tan - 1   ⁡ 3 5 = 31 °

Portanto,

α = 69,2 ° - 31 ° = 38,2 °

Resposta

a = 8,4   m / s 2

α = 38,2 °

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