Enunciado

O carro de massa m é submetido à força F exponencialmente descrescente, que representa um carregamento de choque ou explosivo. Se o carro está parado no instante de tempo t = 0 , determine sua velocidade v e deslocamento s como funções do tempo. Qual é o valor de v para valores elevados de t ?

Passo 1

Vamos lembrar do teorema do impulso:

∫ F   d t = m Δ v

Como nesse caso o carro parte do repouso, temos Δ v = v , e substituindo a equação que foi dada para a força:

∫ F 0 e - b t   d t = m v

Vamos encontrar uma equação para a velocidade:

v = 1 m ∫ 0 t F 0 e - b t   d t

v = - F 0 m b e - b t - e 0

v ( t ) = F 0 m b 1 - e - b t

Daqui já podemos ver que, quando t tende ao infinito, a velocidade tende a F 0 / m b .

Passo 2

Agora precisamos transformar isso em uma equação da posição em função do tempo:

v = d s d t

d s = v   d t

d s =   F 0 m b 1 - e - b t   d t

E agora podemos integrar:

∫ s 0 = 0 s d s = ∫ 0 t F 0 m b 1 - e - b t   d t

s = F 0 m b ∫ 0 t 1 - e - b t   d t

s = F 0 m b t + 1 b e - b t - 1 b

E então:

s t = F 0 m b t + 1 b e - b t - 1

Resposta

A velocidade é dada por v ( t ) = F 0 m b 1 - e - b t , e tende a F 0 / m b para valores elevados de t . A posição é dada por s t = F 0 m b t + 1 b e - b t - 1 .

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