Enunciado

Uma nave espacial no espaço profundo está programada para aumentar sua velocidade por uma quantidade desejada ∆ v através da combustão de seu motor por um determinado tempo de duração t . Após vinte e cinco por cento da combustão, o motor repentinamente falha e posteriormente produz apenas metade de seu empuxo normal. Qual o percentual n de v é alcançado se o motor do foguete é acionado pelo tempo programado t ? Quanto tempo extra t ' o foguete precisaria operar a fim de compensar a falha?

Passo 1

Vamos construir um gráfico que demonstre o comportamento da força em função do tempo. Vamos dividir o intervalo de 0 a t em quatro partes para se ajustar aos dados do enunciado:

Agora vamos nos lembrar do teorema do impulso:

∫ F   d t = m Δ v

Perceba que essa integral da esquerda é simplesmente a área sob o gráfico!

Passo 2

Depois que o motor falha, no instante t / 4 , a força cai para F / 2 , e a área calculada pela integral é:

Vamos supor que m Δ v é o momento fornecido quando o motor não falha, e m Δ v ' é o fornecido quando falha:

m Δ v ' = 5 8 m Δ v

Podemos dividir ambos os lados pela massa e obter a razão entre as variações de velocidade:

Δ v ' Δ v ≅ 0,625

n = 62,5 %

Passo 3

Para compensar essa falha, considerando que a força continue em F / 2 , o motor precisa continuar operando por mais três “quadrados”.

Como cada quadrado “vale” t / 4 , o tempo extra pelo qual o motor precisa operar é:

t ' = 3 t 4

Resposta

O percentual é n = 62,5 % e o tempo extra é t ' = 3 t / 4 .

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