Enunciado

Um carro move-se sobre um morro descrito por y = - 5 10 - 3 x 2 + 4.5 m . Se ela tem uma velocidade escalar constante de 22,5 m/s, determine as componentes x e y da velocidade e aceleração da camionete quando x = 15 m

Passo 1

Podemos encontrar uma relação entre os componentes x e y da velocidades da partícula calculando a primeira derivada da equação da trajetória da partícula. Para isso, usaremos a regra da cadeia no processo de derivação.

y = - 5 10 - 3 x 2 + 4.5

y ˙ = - 10 ( 10 - 3 x x ̇

Ou podemos escrever da seguinte forma:

v y = - 3 10 - 3 x v x

No ponto x = 15 m , Temos o seguinte valor de v y :

v y = - 10 10 - 3 15 v x = - 0.15   v x  

Passo 2

Podemos representar a magnitude da velocidade da pela seguinte equação:

v = v x 2 + v y 2

Substituimos v = 22.5 m / s e a nova equação encontrada no passo 1, temos:

22.5 = v x 2 + ( - 0.15 v x ) 2  

Isolando v x nós encontramos o seguinte resultado:

v x = 22.25   m / s ←

Substituimos este resultado na equação encontrada no passo 1:

v y = 3.33   m / s ↑

Passo 3

Assim como fizemos no passo 1, podemos encontrar uma relação entre os componentes x e y da aceleração da partícula calculando a segunda derivada da equação da trajetória da partícula. Para isso, usaremos a regra da cadeia no processo de derivação.

y ¨ = - 10 ( 10 - 3 ) x ˙ x ˙ + x x ̅

Ou podemos escrever da seguinte forma:

a y = - 10 10 - 3 v x 2 + x a x

Para x = 15 m e v x = - 22.25 m / s , temos o seguinte:

a y = - 10 10 - 3 - 22.5 2 + 15 a x

a y = - ( 5.06 + 0.15 a x )

Passo 4

Note que a partícula viaja com velocidade constante, desta forma, sua aceleração ao longo da tangente do trajeto é igual a 0. Note também, que o ângulo que a tangente faz com o eixo horizontal em x = 15 m é:

∅ = t a n g - 1 d y d x no ponto x = 15 m

∅ = t a n - 1 - 10 ( 10 ) - 3 x ponto x = 15 m

∅ =   t a n - 1 - 0.15 = - 8.531 °

a x c o s 8.531 ° - a y s e n 8.531 ° = 0

Formaremos um sistema com esta equação e a equação encontrada no passo 4. Resolvendo, encontramos:

a x = - 0,74   m / s 2 e a y = - 4,95   m / s 2

Resposta

Velocidade:

A componente x da velocidade da partícula é v x = 22.25   m / s

A componente y da velocidade da partícula é v y = 3.33   m / s

Aceleração:

A componente x da aceleração da partícula é a x = 0.74   m / s 2

A componente y da aceleração da partícula é a y = 4.95   m / s 2

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