Enunciado

Um carro parte do repouso e acelera a uma taxa constante até atingir 100   k m / h em uma distância de 60   m , momento em que é desengrenado. O carro então diminui para uma velocidade de 50   k m / h em uma distância adicional de 120   m com uma desaceleração que é proporcional à sua velocidade. Encontre o tempo t para o carro para viajar 180   m .

Passo 1

Galera, no início de tudo, o carro começa com velocidade nula e tem uma aceleração constante. Como sabemos que o deslocamento é 60   m = 0,06   k m e a velocidade final no momento em que o carro é desengrenado é 100   k m / h , podemos usar a seguinte equação para encontrar o tempo, lembrando de converter m para k m :

Δ s = v t

0,06   k m = 100 k m h t

t = 0,0006   h

Ou seja, até o momento em que o carro é desengrenado, passou-se 0,0006   h ou 0,036   m i n ou 2,16   s .

Passo 2

Porém, no segundo momento, a (des)aceleração já não é mais constante, e sim proporcional à velocidade, digamos:

a = - k v

Pra descobrir o valor dessa constante k , vamos usar a seguinte equação:

v   d v = a   d s

Basta substituir o valor de a e integrar:

v   d v = - k v   d s

d v = - k   d s

Lembre-se que os limites de integração correspondem a 60   m = 0,06   k m para a velocidade de 100   k m / h e 180   m = 0,18   k m para a velocidade de 50   k m / h :

∫ 100 50 d v = - k ∫ 0,0 6   0 , 18 d s

50 - 100 = - k 0 , 18 - 0,06

k ≈ 416 , 7   h - 1

Ou seja, temos

a = - 416 , 7   v

Passo 3

Show! Agora, pra descobrir o tempo total t , vamos usar a seguinte equação:

d v = a   d t

Substituímos o valor de a e integramos:

d v = - 416,7   v   d t

1 v   d v = - 416,7   d t

Quanto aos limites de integração, lembre-se que a velocidade de 100   k m / h ocorre no tempo 0,0006   h , enquanto a velocidade final de 50   k m / h corresponde exatamente ao tempo total t que buscamos:

∫ 100 50 1 v   d v = - 416,7 ∫ 0,0006 t d t

ln ⁡ 50 - ln ⁡ 100 = - 416,7 t - 0,0006

3,912 - 4,605 = - 416,7 t + 0,25

t = 0,0023   h

Ou seja, o tempo total será aproximadamente 0,0023   h ou 0,138   m i n ou 8   s .

Resposta

t ≈ 8   s

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