Enunciado

A cavilha de madeira mostrada na figura é torneada para 25   m m de diametro e 100   m m de comprimento. Determine a porcentagem do volume inicial da cavilha que será desperdiçada.

Passo 1

Bom galera, o problema que que a gente diga em porcentagem o volume que vai ser perdido no torneamento.

Vamos começar, calculando o volume da cavilha, usando o teorema de Pappus-Guldinus, considerando que a cavilha é um solido de rotação da seguinte figura:

Onde, essa parte verde e vermelha são dadas por:

Ou seja, a área verde está cortada por um quarto de círculo e um arco de circulo está cortado por um triângulo de mesmo ângulo, vamos logo descobrir esse ângulo, é fácil, bem assim:

sin ⁡ θ = 12,5 22

Usando a função inversa do seno na calculadora, a gente encontra:

θ = 34,62 °

Passo 2

Show de bola, agora a gente monta uma tabela pra encontrar o centroide em y da figura:

Dica: O centroide de cada uma das figuras isoladas fica no final do livro.

Passo 3

Então, o volume desse sólido é:

V = 2 π ⋅ y - ⋅ A

V 1 = 2 π ⋅ 3784,14 = 23776   m m 3

Agora, o volume depois de torneado:

V 2 = π 4 25 2 ⋅ 100 = 49087   m m 3

Passo 4

Por fim, vamos calcular a porcentagem da diferença:

V 2 - V 1 V 2 = 49087 - 27776 49087

= 0,515 = 51,6 %

Resposta

51,6 %

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