Enunciado

Verifique se as expressões para os volumes das quatro primeiras formas na Fig. 5.21 estão corretas.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Item a:

Hemisfério gerado por um quarto de círculo.

Sabemos que o volume é dado por:

V = 2 π y - A

Para um quarto de círculo:

y - = 4 a 3 π

E:

A = π 4 a 2

Onde a é o raio do círculo.

Portanto:

V = 2 π 4 a 3 π π 4 a 2

V = 2 3 π a 3

Passo 2

Item b:

Semielipsoide gerado por um quarto de elipse:

Sabemos que o volume é dado por:

V = 2 π y - A

Para um quarto de elipse, temos:

y - = 4 a 3 π

E:

A = π 4 h a

Onde a e h são os os tamanhos vertical e horizontal, respectivamente, da elipse a partir do centro..

Portanto:

V = 2 π 4 a 3 π π 4 h a

V = 2 3 π a 2 h

Passo 3

Item c:

Paraboloide gerado por um quarto de parábola:

Sabemos que o volume é dado por:

V = 2 π y - A

Para um quarto de parábola, temos:

y - = 3 8 a

E:

A = 2 3 h a

Onde a e h são os os tamanhos vertical e horizontal, respectivamente, da parábola a partir do centro.

Portanto:

V = 2 π 3 8 a 2 3 h a

V = 1 2 π a 2 h

Passo 4

Item d:

Cone gerado por um triângulo:

Sabemos que o volume é dado por:

V = 2 π y - A

Para um cone gerado por um triângulo, temos:

y - = a 3

E:

A = 1 2 h a

Onde a e h são os os tamanhos vertical e horizontal, respectivamente, do triângulo a partir do centro.

Portanto:

V = 2 π a 3 1 2 h a

V = 1 3 π a 2 h

Passo 5

Item e:

Pirâmide gerada por triângulo:

Neste caso, não obtemos o volume por revolução, com isso, não podemos usar o teorema de Pappus-Guldinus.

V = 1 3 4 h b 2 2 a

V = 1 3 h b a

Resposta

a ) V = 2 3 π a 3

b ) V = 2 3 π a 2 h

c ) V = 1 2 π a 2 h

d ) V = 1 3 π a 2 h

e ) V = 1 3 h b a

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