Enunciado

Para um certo coeficiente de atrito μ e um certo ângulo α , a força P necessária para elevar m vale 4 kN e a necessária para abaixar m vale 1,6 kN. Calcule a massa m .

Passo 1

No limiar de escorregamento da corda, tanto para um lado quanto para o outro, ela está em equilíbrio, dado pela fórmula:

ln ⁡ T 2 T 1 = μ β

Sendo T 2 e T 1 as trações maior e menor nas extremidades da corda, μ o coeficiente de atrito entre a corda e a superfície e β o ângulo total de giro da corda. Para levantar a massa, a tração maior T 2 é 4 kN e a menor T 1 é o peso de m . Para abaixar, a tração maior é feita pelo peso m , e a menor é de 1,6 kN. Aplicando então as duas equações devemos achar m .

Passo 2

Então aplicamos a primeira equação, para o levantamento da massa m , sendo g = 9,81 a aceleração da gravidade:

ln ⁡ T 2 T 1 = μ β ⇒ ln ⁡ 4000 m g = μ β ⇒ ln ⁡ 4000 9,81 m = μ β

Agora aplicamos a segunda, para abaixar a massa. Dessa vez T 1 = 1,6   k N = 1600   N e T 2 = m g = 9,81 m :

ln ⁡ 9,81 m 1600 = μ β

Das duas equações tiramos:

ln ⁡ 4000 9,81 m = ln ⁡ 9,81 m 1600

⇒ 4000 9,81 m = 9,81 m 1600 ⇒ 9,81 2 m 2 = 4000 × 1600 = 6400000

⇒ m 2 = 6400000 9,81 2

Aplicando a raiz quadrada chegamos ao valor de m :

m = 6400000 9,81 = 258   k g

Resposta

m = 258   k g

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