Enunciado

Substitua a correia plana e a polia da Fig. 6/11 por uma correia e uma polia em V, como indicado na vista da seção transversal que acompanha esse problema. Obtenha a relação entre as forças trativas na correia, o ângulo de contato e o coeficiente de atrito para a correia em V quando o movimento é iminente. O projeto de uma correia em V com α = 35 ° seria equivalente a aumentar o coeficiente de atrito por que fator n em relação a uma correia plana do mesmo material?

Passo 1

Vamos isolar uma pequena parte da correia, de angulação d θ . Se temos uma força normal d N aplicada em cada lado na correia, teremos também forças de atrito μ d N aplicadas, sendo μ o coeficiente de atrito entre a correia e a polia. Vamos olhar para a parte da correia paralelamente à correia, para mostrar o ângulo d θ .

Como podemos ver, temos de um lado uma tração T e do outro uma tração T + d T . O atrito irá se opor a esse acréscimo da tração. Primeiro vamos fazer a equação de equilíbrio na direção paralela ao atrito. Temos:

2 μ   d N - T + d T cos ⁡ d θ 2 + T cos ⁡ d θ 2 = 0

⇒ 2 μ   d N - d T cos ⁡ d θ 2 = 0

O cosseno de um ângulo infinitesimal pode ser considerado igual a 1, então nossa equação fica:

d T = 2 μ   d N       ( 1 )

Passo 2

Agora fazemos o equilíbrio na direção vertical. Temos as forças normais d N , que têm inclinação de α 2 em relação à horizontal, e as trações, com inclinação d θ 2 :

2 d N sen ⁡ α 2 - T + d T sen ⁡ d θ 2 - T sen ⁡ d θ 2 = 0

⇒ 2 d N sen ⁡ α 2 - 2 T sen ⁡ d θ 2 - d T sen ⁡ d θ 2 = 0

O seno de um ângulo infinitesimal pode ser interpretado como o próprio ângulo. O termo d T sen ⁡ d θ 2 = d T d θ 2 pode ser ignorado, pois é um infinitesimal de ordem 2. Então:

2 d N sen ⁡ α 2 = 2 T d θ 2 = T d θ

⇒ d N = T d θ 2 sen ⁡ α 2       ( 2 )

Passo 3

Substituindo d N da equação ( 2 ) na ( 1 ) , temos:

d T = 2 μ T d θ 2 sen ⁡ α 2

⇒ d T = μ T sen ⁡ α 2 d θ

Isolamos os termos que contém T , e integramos dos dois lados:

d T T = μ sen ⁡ α 2 d θ

⇒ ∫ d T T = ∫ μ sen ⁡ α 2 d θ

⇒ ln ⁡ T 2 T 1 = μ β sen ⁡ α 2

Sendo β a angulação total de giro na correia.

Passo 4

Para uma correia em V com angulação de 35 ° , temos a relação:

ln ⁡ T 2 T 1 = μ β sen ⁡ 35 ° 2 = μ β sen ⁡ 17,5 ° = 3,326 μ β

Se a correia fosse plana, a relação seria:

ln ⁡ T 2 T 1 = μ β

Então trocar a correia por uma de angulação de 35 ° é equivalente a trocar por um material de com coeficiente de atrito aumentado de um fator n = 3,326 .

Resposta

ln ⁡ T 2 T 1 = μ β sen ⁡ α 2

n = 3,326

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

As duas polias são fixadas juntas e são usadas para içar o cilindro de massa m. A fração k pode variar de quase zero a um. Derive uma expressão para a tensão T necessária para elevar o cilindro a uma
Cada uma das quatro rodas do veículo pesa 40 libras e é montada em um mancal de 4 pol. De diâmetro (eixo). O peso total do veículo é de 960 libras, incluindo rodas, e é distribuído igualmente nas quat
O empuxo hemisférico que se sustenta no final do eixo suporta uma força axial P . Derive a expressão para o momento M necessário para girar o eixo a velocidade constante se a pressão p for proporciona
Calcule as tensões T, T1 e T2 para Prob. 6/90 se o bloco estiver sendo abaixado lentamente.
O peso do tambor D e seu cabo é de 100 libras e o coeficiente de fricção μ para o rolamento é de 0,20. Determine a força P necessária para elevar o cilindro de 80 lb se o atrito do rolamento for (a) n