Enunciado

A chave de cinta mostrada na figura é usada para apertar o tubo com firmeza sem danificar sua superfície. Sabendo que o coeficiente de atrito estático é o mesmo para todas as superfícies de contato, determine o menor valor de μ s para que a chave seja autotravente quando a = 200   m m , r = 300   m m e θ = 65 ° .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Nos foi dito que:

a = 200   m m

r = 30   m m

E:

θ = 65 °

Para que a chave seja travada automaticamente, o atrito deve ser suficiente para manter o equilíbrio, pois o P é aumentado de z e r o a P m á x , além de impedir o deslizamento da correia no tubo.

Sabendo disso, chegou a hora de desenharmos o diagrama de corpo livre do sistema:

Passo 2

A partir da geometria da figura, podemos calcular o valor de A D e D E . Temos que:

C H = a tan ⁡ θ

C D = a sen ⁡ θ

Sabemos que:

D E = B H = C H - B C

Portanto:

D E = a tan ⁡ θ - r

E:

A D = C D - C A

A D = a sen ⁡ θ - r

Passo 3

Analisando o momento sobre o ponto E , temos que:

∑ M E = 0

F A D - T 2 D E = 0

Substituindo temos que:

F a sen ⁡ θ - r - T 2 a tan ⁡ θ - r = 0

Substituindo os valores conhecidos, temos que:

F 200 sen ⁡ 65 ° - 30 - T 2 200 tan ⁡ 65 ° - 30 = 0

Resolvendo, teremos:

F 190,68 - T 2 63,26 = 0

T 2 F = 3,014

Passo 4

Fazendo a análise das forças em x , temos que:

∑ F x = 0

- T 2 + N sen ⁡ 65 ° + F cos ⁡ 65 ° = 0

Quando houver escorregamento iminente, temos que:

F = μ s N

Logo:

N = F μ s

Portanto:

T 2 = F μ s sen ⁡ 65 ° + F cos ⁡ 65 °

Podemos obter a relação:

T 2 F = 0,9063 μ s + 0,4226

Substituindo pelo valor encontrado anteriormente, temos que:

0,9063 μ s + 0,4226 = 3,014

Portanto:

μ s = 0,35

Passo 5

Agora temos que verificar o cinto no tubo. Vamos desenhar o diagrama do corpo livre de uma pequena porção da correia em A sobre o eixo t :

Temos que:

∑ F t = 0

0 = 2 F - T 1

T 1 = 2 F

Temos que:

β = 360 ° - 65 °

β = 295 °

Transformando para r a d i a n o s , temos:

β = 295 ° π 180 °   r a d

β = 5,15   r a d

Passo 6

Quando o cinto está na iminência de escorregar, temos que:

ln ⁡ T 2 T 1 = μ s β

Logo:

μ s = 1 β ln ⁡ T 2 T 1

Substituindo os valores, temos que:

μ s = 1 5,15 ln ⁡ 3,014 2

μ s = 0,0796

Temos que o maior valor de μ s = 0,35 deve ser o considerado como valor limite para o qual a chave será travada

Resposta

μ s = 0,35

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