Enunciado

O cilindro de massa m está preso ao anel A , que está suspenso pelo cabo que passa sobre a polia, como mostrado na parte a da figura. Um momento M aplicado à polia a faz girar até que ocorre deslizamento do cabo na polia na posição θ = 20 ° , como mostrado na parte b da figura. Calcule o coeficiente de atrito μ entre o cabo e a polia.

Passo 1

No limiar do deslizamento, quando θ = 20 ° , podemos dizer que o canbo ainda está em equilíbrio em torno da polia. A fórmula para o equilíbrio de uma corda enrolada em torno de uma superfície é dada por:

ln ⁡ T 2 T 1 = μ β

Sendo T 2 e T 1 as trações maior e menor nas extremidades do cabo, β o ângulo total de enrolamento do cabo e μ o coeficiente de atrito entre o cabo e a superfície. Através das equações de equilíbrio para o anel A , devemos ser capazes de encontrar a relação entre as trações T 1 e T 2 , e assim usaremos a fórmula para achar μ .

Passo 2

Vamos fazer o diagrama de corpo livre do anel A , se atentando aos ângulos de inclinação das extremidades do cabo:

Achamos a relação entre T 1 e T 2 através da soma das forças horizontais, já que o peso não aparece:

∑ F x = 0 ⇒ - T 2 sen ⁡ 20 ° + T 1 cos ⁡ 20 ° = 0

⇒ T 1 cos ⁡ 20 ° = T 2 sen ⁡ 20 °

⇒ T 2 T 1 = cos ⁡ 20 ° sen ⁡ 20 ° = 2,747

Passo 3

Agora que temos a razão T 2 / T 1 , aplicamos na fórmula:

ln ⁡ T 2 T 1 = μ β

O ângulo β é três quartos de volta, então:

ln ⁡ 2,747 = μ 3 4 × 2 π = μ ( 1,5 π )

⇒ μ = ln ⁡ 2,747 1,5 π

⇒ μ = 0,214

Resposta

μ = 0,214

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