Enunciado

Se o coeficiente de atrito cinético entre a caixa de 100 kg e o plano é μ k = 0,25 , determine a compressão x de mola necessária para levar a caixa instantaneamente ao repouso. Inicialmente, a mola não está deformada e a caixa está em repouso.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:

Masas da caixa: m = 100   k g ;

Coeficiente de atrito: μ k = 0,25 ;

Rigidez da mola: k = 2000   N / m ;

Velocidade inicial da caixa: v 1 = 0   m / s ;

Velocidade final da caixa: v 2 = 0   m / s .

Devemos determinar a compressão x da mola para que a caixa seja levada instantaneamente ao repouso, ou seja, que sua velocidade seja nula neste ponto.

Inicialmente, vamos desenhar o diagrama de corpo livre da caixa ao tocar a mola:

Onde W = m g é a força peso, F s = k x é a força elástica da mola, N é a força normal e F f = N μ k é a força de atrito cinético.

Passo 2

Primeiramente, vamos encontrar o valor das forças normal e de atrito. Para isso, utilizaremos a Equação do Movimento:

∑ F = m a

No eixo de referência y :

∑ F y = m a y

N - W cos ⁡ 45 ° = m a y

N - 100 9,81 cos ⁡ 45 ° = 100 0

N = 693,67   N

Logo, a força de atrito será igual a

F f = N μ k = 693,67   0,25

F f = 173,42   N

Passo 3

Com os dados obtidos no passo anterior, podemos aplicar o Principio do Trabalho e Energia para determinar a compressão da mola.

Na direção do deslocamento da caixa, temos a ação da força peso W , força de atrito F f e força elástica F s . Porém, tanto a força de atrito quanto a força elástica agem no sentindo oposto ao deslocamento, portanto o trabalho exercido por elas será negativo.

Temos que,

T 1 + ∑ U 1 - 2 = T 2

onde

T 1 = 1 2 m v 1 2 = 1 2 m 0 2 = 0

T 2 = 1 2 m v 2 2 = 1 2 m 0 2 = 0

∑ U 1 - 2 = W y 1 - 2 - 1 2 k x 2 - F f ( 10 + x ) = m g 10 + x sen ⁡ 45 ° - 1 2 k x 2 - F f ( 10 + x )  

Substituindo esses valores na equação inicial e com os dados fornecidos pela questão, obtemos

0 + m g 10 + x sen ⁡ 45 ° - 1 2 k x 2 - F f ( 10 + x )   = 0

( 100 ) ( 9,81 ) 10 + x sen ⁡ 45 ° - 1 2 ( 2000 ) x 2 - ( 173,42 ) ( 10 + x )   = 0

6936,72 + 693,67 x - 1000 x 2 - 1734,2 - 173,42 x = 0

1000 x 2 - 520,25 x - 5202,52 = 0

A solução real positiva desta equação de segundo grau no dá o seguinte valor para x :

x = 2,556   m

Resposta

x = 2,556   m

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