Enunciado

Se o coeficiente de atrito estático nos pontos de contato A e B é μ s = 0,4 , determine a distância mínima d onde uma garota de 35   k g pode permanecer sobre a tábua sem que a tábua deslize. Despreze o peso da tábua.

Passo 1

O problema pede que descubra a menor distância d para que a tábua fique em equilibrio.

Beleza, a gente vai começar fazendo um diagraminha de corpo livre com o peso da garota:

P e s o = 35 ⋅ 9,81 = 343,35   N

As forças de atrito são paralelas às superfícies inclinadas. E as forças de reação ficam normais a essas forças de atrito.

Vamos assumir que a tabua está na eminência de rotacionar no sentido anti-horário. Isso causa então que as forças de atrito sejam em sentidos opostos em relação ao eixo y , e ambas tentem parar a rotação.

A forças de atrito que estão de vermelho são:

F A = μ s ⋅ N A

F B = μ s ⋅ N B

Isso porque estamos considerando a eminência de deslocamento.

Passo 2

A gente pode calcular as forças reação ( N A e N B ) em função de d usando os momentos.

Primeiro usando A como eixo de relação e considerando o sentido anti-horário como positivo.

N B s e n 45 º 3,6 - F B s e n 45 º 3,6 - 343,35 d = 0

N B sen ⁡ 45 ° 3,6 - ( 0,4 ) N B sen ⁡ 45 ° 3,6 - 343,35 d = 0

N B 2,546 - 1,0182 N B = 343,35 d

1,5278 N B = 343,35 d

N B = 343,35 d 1,5278 = 224,735 d

Agora usando B :

343,35 3,6 - d - N A sen ⁡ 30 ° 3,6 - ( 0,4 ) N A sen ⁡ 60 ° ( 3,6 ) = 0

1236,06 - 343,35 d - 1,8 N A - 1,2471 N A = 0

1,8 + 1,2471 N A = 1236,06 - 343,35 d

N A = 1236,06 - 343,35 d 3,0471

N A = 405,65 - 112,681 d

Passo 3

Bom, infelizmente a gente ainda não pode econtrar o que a gente quer porque ainda tem três variaveis e só duas equações, então vamos olhar o somatório das forças no eixo horizontal:

N A cos ⁡ 30 ° - F A cos ⁡ 60 ° - N B cos ⁡ 45 ° - F B cos ⁡ 45 ° = 0

N A cos ⁡ 30 ° - 0,4 N A cos ⁡ 60 ° - N B cos ⁡ 45 ° - 0,4 N B cos ⁡ 45 ° = 0

Ai substituimos o que a gente achou lá nos somatório de momentos

N A = 405,65 - 112,681 d

N B = 224,735 d

Nesse somatório de forças. Fica assim:

405,65 - 112,681 d cos ⁡ 30 ° - 0,4 405,65 - 112,681 d cos ⁡ 60 ° - 224,735 d cos ⁡ 45 ° - 0,4 224,735 d cos ⁡ 45 ° = 0

Parece que é uma equação feia, mas se calcular esses valores trigonométricos e fazer a distributiva, você cai numa equação linear. Depois de isolar o d achamos:

d = 1 . 9 0   m

Resposta

d = 1 , 9 0   m

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