Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler - Capítulo 11.Problemas - Ex. 49

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desse livro

Um furo cônico é perfurado no fundo do cilindro, e depois é apoiado na barra em A . Determine a distância mínima d a fim de que ele permaneça em equilíbrio estável.

Passo 1

Desejamos determinar uma distância mínima d para mandar a peça em equilíbrio estável. Assim, vamos determinar primeiramente o centro de gravidade da combinação desse retângulo e triângulo fazendo

y - = ∑ y c m ∑ m = h 2 ⋅ ρ π r 2 h - d 4 ⋅ ( 1 3 ρ π r 2 d ) ρ π r 2 h - 1 3 ρ π r 2 d   = 6 h 2 - d 2 4 ⋅ ( 3 h - d )

A energia potencial gravitacional do cilindro é positiva se o centro de gravidade se localiza acima do ponto de referência em A . Assim, teremos

y = y - - d   ⋅ cos ⁡ θ = 6 h 2 - d 2 4 ⋅ ( 3 h - d ) - d ⋅ c o s ⁡ ( θ )

Então

V = U g = W ⋅ y = W ⋅ 6 h 2 - d 2 4 ⋅ ( 3 h - d ) - d ⋅ c o s ⁡ ( θ )

Passo 2

Para que possamos ter o equilíbrio a condição necessária é que d V d θ = 0 . Dessa forma,

d V d θ = - W ⋅ 6 h 2 - d 2 4 ⋅ 3 h - d - d ⋅ s in ⁡ θ = 0 → θ = 0 °

Aplicando a segunda derivada para o ângulo descoberto vamos chegar em

6 h 2 - 12 h d + 3 d 2 = 0 → d ≈ 0,586 h

Resposta

d = 0,586 h

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