Enunciado

Um colar A de 1,8 kg e um colar B de 0,7 kg podem deslizar sem atrito sobre uma estrutura que consiste da barra horizontal OE e da barra vertical CD, livre para girar em torno de CD. Os dois colares estão conectados por uma corda que passa por uma roldana presa à estrutura em O. No instante mostrado na figura, a velocidade v A do colar A tem intensidade 2,1 m/s e uma trava impede o movimento do colar B. Se a trava for removida subitamente, determine (a) a velocidade do colar A quando ele estiver a 0,2 m de O, (b) a velocidade do colar A quando o colar B chegar ao repouso. (Admita que o colar B não atinja O, que o colar A não saia da barra OE, e que a massa da estrutura seja desprezível.

Passo 1

Oi, pessoal, tudo bem com vocês? Vamos primeiro analisar o problema.

Fomos informados que o colar A e o colar B podem deslizar sem atrito sobre uma estrutura que consiste da barra horizontal O E e da barra vertical C D , livre para girar em torno de C D . Então, a energia total e a quantidade de movimento angular em relação a C D são conservadas. (Perceba que o colar B só tem a componente radial da velocidade e que no colar A a energia potencial é zero).

Para a posição atual mostrada na figura, na qual a trava impede o movimento do colar B , v B 1 = 0 , observe que o colar A não terá velocidade radial, v A 1 r = 0 , pois ele está conectado em B . Portanto, v A 1 θ = v A 1 .

O enunciado fornece os seguintes dados:

m A = 1,8   k g

m B = 0,7   k g

v A 1 θ = v A 1 = 2,1   m / s

r A 1 = 0,1   m

E pede que, na situação em que a trava é removida subitamente, determinemos qual a velocidade do colar A quando:

  • Ele estiver em r A 2 = 0,2   m de O;
  • O colar B chegar ao repouso, ou seja, v B = 0 .

A Posição 1 refere-se à situação inicial, r A = 0,1   m ;

A Posição 2 refere-se ao ponto em que r A = 0,2   m ;

E a Posição 3 refere-se ao momento em que o colar B chega ao repouso após a trava ser retirada.

Passo 2

Aplicando o princípio da conservação do momento angular do colar A :

r A 1 m A v A 1 = r A 2 m A v A 2 θ

v A 2 θ = 0,1 ⋅ 2,1 0,2 = 1,05   m / s

Encontramos a componente transversal da velocidade para r A = 0,2   m , que é, no caso, o nosso r A 2 .

Vamos agora calcular a energia cinética e potencial.

Posição 1:

Na Posição 1 o colar B está travado. Temos então:

T 1 = T A 1

T 1 = 1 2 m A v A 1 2

T 1 = 1,8 ⋅ 2,1 2 2 = 3,969   m / s

V 1 = 0

Posição 2:

Posição na qual r A = 0,2   m de O .

T 2 = T A 2 + T B 2

T 2 = 1 2 m A v A 2 + 2 1 2 m B v B 2 2

T 2 = 1 2 m A [ v A 2 θ 2 + v A 2 r 2 ] + 1 2 m B v B 2 2

Como o colar B só tem velocidade radial, então

v B 2 = v B 2 r

E como ele e o colar A estão conectados pela corda,

v B 2 r = v A 2 r = v B 2

Continuando o cálculo da energia cinética, fazendo as devidas substituições, temos,

T 2 = 1,8 1,05 2 + v A 2 r 2 + 0,7 v A 2 r 2 2

T 2 = 1,9845 + 2,5 v A 2 r 2 2

T 2 = 0,99225 + 1,25 v A 2 r 2

Já sabemos que no colar A a energia potencial é zero. Agora observe que, se o colar A se desloca 0,1   m , para chegar a r A 2 = 0,2   m , consequentemente, B se desloca também, portanto, r B 2 = 0,1   m .

V 2 = m B g r B 2

V 2 = 0,7 ⋅ 9,81 ⋅ 0,1 = 0,6867   J

Passo 3

Agora vamos aplicar o princípio da conservação de energia.

T 1 + V 1 = T 2 + V 2

3,969 + 0 = 0,99225 + 1,25 v A 2 r 2 + 0,6867

v A 2 r 2 = 1,832   m 2 / s 2

v A 2 r = 1,3535   m / s

Em posse de v A 2 r , vamos encontrar v A 2 :

v A 2 2 = v A 2 θ 2 + v A 2 r 2

v A 2 2 = 1,3535 2 + 1,05 2

v A 2 = 1,713   m / s

E o ângulo formado com O E :

θ = tan - 1 ⁡ v A 2 θ v A 2 r

θ = 37,8 °

Passo 4

Calma, que ainda precisamos determinar a velocidade de A quando B chega ao repouso, que é a nossa Posição 3.

Posição 3:

Aplicando o princípio da conservação do momento angular do colar B :

r A 1 m A v A 1 θ = r A 3 m A v A 3 θ

v A 3 θ = 0,1 ⋅ 2,1 r A 3 = 0,21 r A 3

Calculando a energia cinética e potencial.

Como o colar B está em repouso,

T 3 = 1 2 m A v A 3 2

T 3 = 1 2 m A [ v A 3 θ 2 + v A 3 r 2 ]

Substituindo a expressão que encontramos para v A 3 θ e o valor da massa do colar A :

T 3 = 1,8 ⋅ 0,21 r A 3 2 + v A 3 r 2 2

Se o colar B está em seu limite, então a velocidade radial do colar A , v A 3 r 2 , é zero. Assim,

T 3 = 0,03969 r A 3 2

Observe também, que estando o colar B na sua posição 3, significa que ele percorreu uma distância

r B 3 = r A 3 - 0,1

Calculando agora a energia potencial:

V 3 = m B g r B 3

V 3 = 0,7 ⋅ 9,8 r A 3 - 0,1

V 3 = 6,86 r A 3 - 0,1

V 3 = 6,86 r A 3 - 0,686

Passo 5

Vamos agora aplicar o princípio da conservação da energia:

T 1 + V 1 = T 3 + V 3

3,969 + 0 = 0,03969 r A 3 2 + 6,86 r A 3 - 0,686

Resolvendo a equação cúbica, sabendo que r A 3 > r A 2 , temos que,

r A 3 = 0,66551   m

Substituindo o valor encontrado para r A 3 na expressão obtida para v A 3 θ :

v A 3 θ = 0,21 r A 3

v A 3 θ = v A 3 = 0,3155   m / s

Chegamos à velocidade do colar solicitada no item b.

Resposta

a )   v A 2 = 1,713   m / s  

θ = 37,8 °

b )   v A 3 = 0,3155   m / s

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Se o jato no carro de corrida tipo dragster fornece um empuxo constante de T=20kN, determine a potência gerada pelo jato como uma função de tempo. Despreze o arrasto e a resistência ao rolamento, assi
O bloco de 25 kg repousa sobre a superfície áspera para a qual o coeficiente de atrito cinético éμ k = 0.2 . Uma força F = 0,5 ( 400 + s 2 ) N, onde s é dado em metros, atua sobre o bloco na direção m
Resolva o problema 14.70 se o coeficiente de atrito cinético entre o plano e acaixa for de μ k = 0,3
O carrinho de montanha-russa, tendo massa m, é solto do repouso no ponto A . Se a pista precisa ser projetada de maneira que o carrinho não a deixe em B , determine a altura necessária h . Além disso,
Quando o cilindro de 50 kg é solto do repouso, a mola é submetida a uma tração de 60 N. determine a velocidade do cilindro após ele ter caído 200 mm. Qual é a distância que ele caiu antes de parar ins