Enunciado

Após o retorno do módulo lunar ao módulo de comando, a espaçonave Apollo foi girada em torno de si mesma de modo que o módulo lunar ficou voltado para trás. O módulo lunar foi então ejetado à deriva com uma velocidade de 200   m / s relativa ao módulo de comando. Determine a intensidade e a direção (ângulo ϕ formado com a vertical O C ) da velocidade v C do módulo justamente antes de ele colidir com a superfície da Lua em C .

Passo 1

Oi, pessoal! Tudo bem? Vamos à resolução do problema!!

O enunciado informa que o módulo lunar foi ejetado à deriva com uma velocidade de 200   m / s relativa ao módulo de comando, e a figura nos fornece os seguintes dados:

R L = 1740   k m

h B = 140   k m

Nosso objetivo é determinar a intensidade e a direção da velocidade v C do módulo lunar exatamente antes de ele colidir com a superfície da Lua em C . Como temos a altitude do ponto B e o raio da lua, vamos calcular r B .

r B = h B + R L

r B = 140 + 1740 = 1880   k m = 1880 × 10 3   m

Passo 2

Módulo de comando em órbita circular:

O produto G M L , pode ser expresso conforme a Eq. 12,29:

G M L = g R 2

Sabemos que,

G M L = 0,0123 G M T = 0,0123 g R T 2

E sendo

g = 9,81   m / s 2

R T = 6370 × 10 3   m

Substituímos os valores na equação para obtermos G M L :

G M L = 0,0123 g R T 2

G M L = 0,0123 ⋅ 9,81 6370 × 10 3 2

G M L = 4,896 × 10 12   m 3 / s 2

Sabemos que

F = m a

Conforme a Eq. 12.28:

F = G M m r 2

Então,

G M L m r B 2 = m a

Sabendo que, para um satélite em órbita circular,

a = v c i r c 2 r B

Temos que,

G M L m r B 2 = m v c i r c 2 r B

G M L r B 2 = v c i r c 2 r B

Substituindo os valores que temos, encontramos v c i r c :

v c i r c 2 = 4,896 × 10 12 ⋅ 1880 × 10 3 1880 × 10 3 2

v c i r c = 1614   m / s

Em posse de v c i r c e da velocidade relativa, podemos encontrar v B :

v B = v c i r c - v r e l

v B = 1614 - 200 = 1414   m / s

Passo 3

Aplicando o princípio da conservação de energia entre B e C :

T B + V B = T C + V C

1 2 m v B 2 - G M L m r B = 1 2 m v c 2 - G M L m r C

Observe que r C = R L = 1740 × 10 3   m . Fazendo as devidas substituições:

1414 2 2 - 4,896 × 10 12 1880 × 10 3 = v C 2 2 - 4,896 × 10 12 1740 × 10 3

999698 - 2,60425 × 10 6 = v C 2 2 - 2,8138 × 10 6

v C 2 = 2418496   m 2 / s 2

v C = 1555   m / s

Passo 4

Já encontramos a intensidade de v C , agora queremos saber o ângulo ϕ que ela forma com a vertical O C .

Vamos aplicar o princípio da conservação do momento angular:

r B m v B = R L m v C s e n ϕ

s e n ϕ = r B v B R L v C

s e n ϕ = 1880 × 10 3 ⋅ 1414 1740 × 10 3 ⋅ 1555 = 0,98249

ϕ = 79,26 °

Resposta

v C = 1555   m / s

ϕ = 79,26 °

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