Enunciado

Um colar A de 5   k g está preso a uma mola de constante 800   N / m e comprimento indeformado de 450   m m . O sistema é posto em movimento com r = 300   m m , v θ = 5   m / s e v r = 0 . Desprezando a massa da barra e o efeito de atrito, determinar os componentes radial e transversal da velocidade do colar quando r = 520   m m .

Passo 1

Oooi, pessoal! Tudo bem com vocês?

Nessa questão o nosso objetivo é encontrar os componentes radial e transversal da velocidade do colar A quando r = 520   m m . Primeiro vamos anotar os dados que são fornecidos.

m = 5   k g

k = 800   N / m  

r i n d e f o r m a d o = 450   m m = 0,45   m

r 1 = 300   m m = 0,3   m

v θ = 5   m / s

v r = 0

Sabendo de tais dados, agora vamos calcular a deflexão da mola na posição inicial do colar. O problema nos diz que ele é posto em movimento com r 1 = 0.3   m e r i n d e f o r m a d o = 0.45   m . Observe que ele parte de uma posição na qual a mola está comprimida.

x 1 = r 1 - r i n d e f o r m a d o

x 1 = 0,3 - 0,45 = - 0,15   m

E, sendo v θ 1 = 5   m / s e v r 1 = 0 , temos que,

v 1 2 = v θ 1 2 + v r 1 2

v 1 = 5   m / s

Passo 2

O problema pede que determinemos as componentes da velocidade do colar, quando r = 520   m m , então esse é o nosso r 2 . Em metros,

r 2 = 0,52   m

Temos então que,

x 2 = r 2 - r i n d e f o r m a d o

x 2 = 0,52 - 0,45 = 0,07   m

Passo 3

Vamos agora aplicar o princípio da conservação do momento angular.

r 1 m v θ 1 = r 2 m v θ 2

Se você observar, o único valor que não temos ainda é a componente transversal da velocidade v θ 2   , que é um dos resultados solicitados no problema.

v θ 2 = r 1 v θ 1 r 2

Isolando-a e substituindo os dados que já obtidos, temos:

v θ 2 = 0,3 ⋅ 5 0,52 = 2,885   m / s

Passo 4

O próximo passo é aplicar o princípio da conservação de energia: quando uma partícula se desloca sob a ação de forças conservativas, a soma da energia cinética e da energia potencial da partícula permanece constante. Assim, Eq. (13.24):

T 1 + V 1 = T 2 + V 2

1 2 m v 1 2 + 1 2 k x 1 2 = 1 2 m v 2 2 + 1 2 k x 2 2

Agora, isolando v 2 2 e fazendo as substituições, obtemos:

v 2 2 = m v 1 2 + k x 1 2 - k x 2 2 m

v 2 2 = v 1 2 + k x 1 2 - x 2 2 m

v 2 2 = 5 2 + 800 ( - 0,15 ) 2 - 0,07 2 5

v 2 2 = 27,816   m 2 / s 2

Passo 5

Em posse de v θ 2 2 e de v 2 2 , podemos encontrar v r 2 2 .

v 2 2 = v θ 2 2 + v r 2 2

v r 2 2 = 27,816 - 8,323 = 19,492

v r 2 = 4,415   m / s

Resposta

v θ 2 = 2,885   m / s

v r 2 = 4,415   m / s

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