Enunciado

A coluna é de concreto de alta resistência e reforçada com quatro hastes de aço A-36. Se for submetida a uma força axial de 800   k N , determine o diâmetro exigido para cada haste de modo que 1 / 4 da carga seja suportada pelo aço e 3 / 4 , pelo concreto. E a ç o = 200   G P a e E c = 25   G P a

Passo 1

Cara, fala aí!

Vamos entender o que está acontecendo, belezinha? Temos um bloco de concreto e dentro dele a gente tem 4 hastes de aço. Esses 5 componentes vão resistir a essa força aplicada juntos.

Por isso, vamos fazer o DCL:

Ele diz que 1 / 4 da carga é suportada pelo aço. Ou seja, a força total sobre as hastes de aço é

F a ç o = 800 × 1 4

F a ç o = 200   k N

E a força sobre o concreto é 3 / 4 da carga de 800   k N . Então temos:

F c o n c = 800 × 3 4

F c o n c = 600   k N

Aí ele quer saber o diâmetro das hastes para que aconteça essa situação. Vamos ver como resolver essa!

Passo 2

Então, para saber o valor do diâmetro das hastes sabendo a força nas hastes e a força no concreto, podemos pensar em usar a compatibilidade de deslocamentos (ou de alongamento) dessas peças.

Como a carga age sobre o bloco, e hastes e concreto estão perfeitamente unidos, o bloco de concreto e as hastes vão ter o mesmo encurtamento por causa dessa carga, então

δ c o n c = δ a ç o

Sendo que a expressão do encurtamento é

δ = N L E A

Logo, podemos reescrever:

δ c o n c = δ a ç o

F c o n c L E c o n c r e t o A c o n c = F a ç o L E a ç o A h a s t e s

E por que a gente faz isso? Porque aí vamos ter uma expressão que relaciona essas forças e a áreas das hastes.

A gente não pode apenas ver que área a haste precisa ter para suportar a força nela usando tensão admissível porque isso não levaria em conta a força necessária para deformar o concreto na mesma magnitude que a haste.

Passo 3

Belezinha, a área das hastes é dada por

A h a s t e s = 4 π 4 d 2 = π d 2

Porque temos 4 hastes né? E a área do concreto é a seção quadrada menos a área das hastes:

A c o n c = b 2 - π d 2

Vamos substituir isso na nossa equação:

F c o n c L E c o n c r e t o A c o n c = F a ç o L E a ç o A h a s t e s

F c o n c E c o n c r e t o b 2 - π d 2 = F a ç o E a ç o π d 2

Vamos substituir os dados e resolver para d :

600   k N 25   G P a 300   m m 2 - π d 2 = 200   k N 200   G P a π d 2

Simplificando e isolando d

6 300   m m 2 - π d 2 = 2 8 π d 2

d = 33,9   m m

Resposta

d = 33,9   m m

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