Enunciado

A coluna de aço A- 36 está revestida em concreto de alta resistência, como mostra a figura. Se uma força axial de 300   kN for aplicada à coluna, determine a área exigida para o aço de modo que a força seja compartilhada igualmente entre o aço e o concreto. Até que distância a coluna se encurta? Seu comprimento original é de 2,4   m .

Passo 1

Uma coluna com interior de aço e revestida com concreto de alta resistência é comprimida por uma força de 300   kN .

Características da coluna:

  • Aço A-36: E a ç o = 200   GPa   .   (Tabelado)
  • Concreto de alta resistência: E c o n c = 29   GPa   .   (Tabelado)
  • Comprimento inicial: L = 2,4   m .
  • Área da parte de aço: A a ç o . (Desconhecido!)
  • Área da parte de concreto: A c o n c = 400   mm ⋅ 225   mm - A a ç o = 90000   mm 2 - A a ç o .

O conjunto todo (aço e concreto) é comprimido pelos 300   kN ! O aço irá resistir com uma força F a ç o e o concreto com uma força F c o n c .

Queremos saber qual é a área que a parte de aço deve ter ( A a ç o ) para que as forças internas sejam iguais:

F a ç o = F c o n c

A questão também pede que calculemos o quanto a coluna é encurtada: δ .

Passo 2

Como queremos ver o caso em que as forças são iguais, escrevemos que

F = F a ç o = F c o n c

Precisamos relacionar essa força F às áreas do problema. Vamos montar uma condição de compatibilidade. O carregamento vai comprimir a coluna. A parte de aço e o revestimento de concreto irão reduzir o mesmo comprimento!

δ a ç o =   δ c o n c

Use a fórmula da relação carga-deslocamento:

δ = F   L A   E

F a ç o   L A a ç o   E a ç o = F c o n c   L A c o n c   E c o n c           →         F   L A a ç o   E a ç o = F   L A c o n c   E c o n c

A c o n c = E a ç o E c o n c A a ç o

Pronto, agora se substituirmos os valores, vamos achar uma relação entre as áreas:

A c o n c = 6,896 55 A a ç o

Passo 3

Por definição do problema, sabemos que

A c o n c = 90000   mm 2 - A a ç o

Substitua A c o n c = 6,896 5 5 A a ç o e isole o A a ç o !

6,896 55 A a ç o = 90000   mm 2 - A a ç o

A a ç o = 90000   mm 2 7,89655 = 11397,38   mm 2

Passo 4

E pra fechar, é só calcular o deslocamento com a relação carga-deslocamento. Vamos precisar do valor da força F antes. Usando o equilíbrio de forças e F = F a ç o = F c o n c

∑ F = 0           →         2 F = 300   kN

F = 150   kN

Agora vamos pra fórmula do deslocamento. Qualquer um dos dois materiais serve porque δ a ç o = δ c o n c .

δ = δ a ç o = F a ç o   L A a ç o   E a ç o           →         δ =   15 0   kN ⋅ 2,4   m 11397,38   mm 2 ⋅ 200   GPa

δ = 0,15 793   mm

Resposta

Área requerida: Tensão no aço: A a ç o = 11397,38   mm 2 .

Deslocamento: δ = 0 , 15793   mm .

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