Enunciado

A coluna de concreto é reforçada com quatro hastes de aço, cada uma com diâmetro de 18   m m . Determine a tensão no concreto e no aço se a coluna for submetida a uma carga axial de 800   k N . E a ç o = 200   G P a, E c = 25   G P a .

Passo 1

Cara, fala aí!

Vamos entender o que está acontecendo, belezinha? Temos um bloco de concreto e dentro dele a gente tem hastes de aço. Esses 5 componentes vão resistir a essa força aplicada juntos.

Por isso, vamos fazer o DCL:

Mas queremos a tensão, que é dada por

σ = P A

Essa área aí a gente acha. Mas e P , que é a força no concreto e nas hastes? Serão exatamente as forças de reação gerada nesses componentes. Então bora lá achar essas forças!

Passo 2

Para isso, podemos utilizar a fórmula do equilíbrio no eixo y :

↑ ∑ F y = 0

F c o n c + 4 F a ç o = 800   k N

Temos duas variáveis e uma equação. Precisamos achar mais uma, para ter informações suficientes para ter a solução, ok?

Passo 3

Aí, temos que na geometria do alongamento. Como as hastes estão dentro do concreto, e juntos, eles formam uma só coluna, as hastes precisam ter o mesmo comprimento do bloco sempre.

Isso quer dizer que eles tem sempre o mesmo alongamento

δ c o n c = δ a ç o

Com isso, podemos aplicar a fórmula do alongamento para cada componente:

δ = N L E A

δ c o n c = F c o n c L 25 300 2 - 4 × π × 9 2

Lembrando ali de tirar as áreas das seções do aço de dentro da seção quadrada do concreto.

δ a ç o = F a ç o L 200 ( π × 9 2 )

Voltando para o que a gente achou antes

δ c o n c = δ a ç o

F c o n c L 25 300 2 - 4 × π × 9 2 = F a ç o L 200 ( π × 9 2 )

F c o n c = 300 2 - 4 × π × 9 2 25 π × 9 2 200 F a ç o

F c o n c = 43,71 F a ç o

Prontinho, achamos mais uma equação!

Passo 4

Resolvendo este sistema linear,

F c o n c = 43,71 F a ç o

F c o n c + 4 F a ç o = 800   k N

Temos:

F a ç o = 16,768 × 10 3

F c o n c = 732,933 × 10 3

Agora, basta substituirmos:

σ = F A

σ a ç o = 16,768 × 10 3 π 4 × 18 2    

σ a ç o = 65,9   M P a

Para o alumínio, temos:

σ c o n c = 732,933 × 10 3 300 2 - 4 × π × 9 2

σ c o n c = 8,24   M P a

Resposta

σ a ç o = 65,9   M P a

σ c o n c = 8,24   M P a

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