Enunciado

A haste tem uma leve conicidade e comprimento L . Está suspensa a partir do teto e suporta uma carga P em sua extremidade. Mostre que o deslocamento de sua extremidade em razão dessa carga é δ   = P L ( π E r 2 r 1   ) . Despreze o peso do material. O módulo de elasticidade é E .

Passo 1

Queremos mostrar que o deslocamento da extremidade em razão da carga P é dado pela fórmula descrita no problema. Neste caso, podemos desprezar o peso do material. Além disso, devemos notar que esse deslocamento vai ser dado em função de uma integral e dado por

δ = ∫ 0 L P A x ⋅ E

Ou seja, descobrindo quem é A x o nosso problema deixa de ser de resistência e passa a ser de cálculo onde necessitaremos resolver uma integral e fazer alguma manipulação algébrica.

Passo 2

Para encontrarmos o valor de A x vamos precisar utilizar algumas coisas de geometria como semelhança de triângulos, por exemplo. Tomemos então o seguinte desenho que pode ser feito com a geometria do problema

Fazendo a semelhança de triângulos vamos obter

L + x 0 r 2 = x 0 r 1 → x 0 = L ⋅ r 1 ( r 2 - r 1 )

De maneira análoga podemos fazer

r x = r 1 + r 2 - r 1 L ⋅ x = r 1 ⋅ L + r 2 - r 1 ⋅ x L

→ A x = π ⋅ r x 2 = π L 2 ⋅ r 1 ⋅ L + r 2 - r 1 ⋅ x 2

Passo 3

Precisamos, agora, apenas resolver a nossa integral mencionada no início que é

δ = ∫ 0 L P A x ⋅ E = P E ∫ 0 L d x π L 2 ⋅ r 1 ⋅ L + r 2 - r 1 ⋅ x 2

δ = P ⋅ L 2 π ⋅ E ∫ 0 L d x r 1 ⋅ L + r 2 - r 1 ⋅ x 2 = P ⋅ L 2 π ⋅ E ⋅ 1 r 2 - r 1 ⋅ r 1 ⋅ L + r 2 - r 1 ⋅ x 0 L

δ =   P ⋅ L 2 π ⋅ E ⋅ r 2 - r 1 ⋅ 1 r 1 ⋅ L + r 2 - r 1 ⋅ L - 1 r 1 ⋅ L =     P ⋅ L 2 π ⋅ E ⋅ r 2 - r 1 ⋅ r 2 - r 1 r 1 ⋅ r 2 ⋅ L =  

δ = P ⋅ L π ⋅ E ⋅ r 1 r 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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