Enunciado

O conjunto é composto por três hastes de titânio e uma barra rígida A C . A área da seção transversal de cada haste é dada na figura. Se uma força vertical P   =   20   k N for aplicada ao anel F , determine o deslocamento vertical do ponto F . E T i   =   350   G P a .

Passo 1

Oláaaa, querido! Tá bem?

Então, temos uma barra rígida sendo suportada por duas hastes. E nessa barra rígida temos uma haste, e a puxando para baixo temos uma força de P = 20   k N .

Aí ele quer saber qual é o deslocamento do ponto F quando essa força é aplicada. Esse ponto se desloca porque as hastes vão ser deformadas por causa da carga, elas vão se alongar.

Falou de alogamento por causa de uma carga, você lembra dessa fórmulinha:

δ = F o r ç a   n o r m a l   i n t e r n a ⋅ ( c o m p r i m e n t o   e m   a n á l i s e ) M o d .   d e   e l a s t i c i d a d e ⋅ ( Á r e a   e m   a n á l i s e ) = P L E A

Vamos usar ela nas nossas barras e um pouco de geometria para saber o deslocamento do ponto F . Bora ver como!

Passo 2

Para aplicar aquela fórmulinha nas nossas barras, precisamos achar as forças normais internas nas barras.

Percebe que a barra E F está sendo diretamente puxada pela força de 20 k N , então podemos dizer que

F e f = P = 20   k N = 20   000   N

Agora precisamos achar as forças internas para as outras barras. Para isso, vamos aplicar as equações da estática à nossa barra A E C :

Calculando o momento em relação ao ponto A, tomando o sentido anti-horário como positivo:

∑ M a = 0

F d c ⋅ 1,25 - 20 ⋅ 0,5 = 0

F d c = 8,0   k N = 8000   N

Avaliando a segunda lei de newton, para as forças em y:

∑ F y = 0

F d c + F b a - P = 0

8 + F b a - 20 = 0

F b a = 12,0   k N = 12   000   N

Passo 3

Calculadas as forças acima, podemos encontrar as deformações em cada barra, que servirão de base para que possamos encontrar o deslocamento em F . Assim, aplicando a fórmula descrita no primeiro passo vamos ter

δ = P L E A

Aplicando primeiro para a barra DC. Vamos achar o quando essa barra é alongada, e assim o quanto o ponto C se move para baixo, já que o ponto D é fixo:

δ c = F d c ⋅ L d c E d c ⋅ A d c  

δ c = 8000 ⋅ 2 350 × 10 9 ⋅ 45 × 10 - 6  

δ c ≈ 1,0159   m m

Analogamente para a barra B A , onde o ponto A é o que vai sofrer o deslocamento:

δ a = F b a ⋅ L b a E b a ⋅ A b a  

  δ a = 12000 ⋅ 2 350 × 10 9 ⋅ 60 × 10 - 6  

δ a ≈ 1 , 142 9   m m  

Achando também o alongamento da barra E F :

δ E F = F E F ⋅ L E F E E F ⋅ A E F  

  δ E F = 20000 ⋅ 1,5 350 × 10 9 ⋅ 75 × 10 - 6  

δ E F ≈   1,1429   m m

Passo 4

Então, a gente quer saber o deslocamento total do ponto F , certo?

Uma parte desse deslocamento vai ser o alongamento da barra E F que a gente achou δ E F .

E a outra parte acontece porque a barra rígida desce um pouco porque os seus suportes, as barras A B e C D , sofrem alongamento. E assim, o ponto E , que está na barra rígida, vai descer um valor, que vamos achar de δ e .

Aí a gente pode dizer que o deslocamento de F é a soma do deslocamento de E e do alongamento de E F :

δ F = δ e + δ E F

Só que não temos δ e ainda.

Passo 5

Bem, δ e   dado pela geometria da figura. Como as barras A B e C D não se deformam igualmente, a barra rígida vai ficar um pouco inclinada, então a gente vai precisar olhar a geometria da deformação com mais carinho para saber o quando E desceu:

Vê que o alongamento de C D   é menor que o alongamento de A B . E que o alongamento dessas barras é igual ao valor que a extremidade inferior delas vai ser mover.

Com isso a gente pode fazer uma semelhança de triângulos e achar o deslocamento do ponto E da seguinte forma:

d 2 d 1 = 1,25 0,75

δ a - δ c δ E - δ c = 1,25 0,75

δ E = δ c + 0,75 1,25 ⋅ δ a - δ c

δ E = 1,0159   + 0,75 1,25 ⋅ 1,1429 - 1,0159  

δ E = 1,0921   m m

Passo 6

Por fim, deslocamento exatamente no ponto F será dada por

δ F = δ E + δ E F

δ F = 1,0921   + 1,1429

δ F = 2,2349   m m

Resposta

δ F = 2,2349   m m

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