Enunciado

Uma coluna com a seção transversal mostrada tem um comprimento efetivo de 4,0m. Sabendo se que σ e = 250Mpa e E=200GPa, determinar a maior carga centrada que pode ser aplicada a coluna.

Passo 1

Fala meus projetistas, bora pra mais um problema de engenharia?

Vamos á um problema de projeto, aqui não tem muito mistério pra encontrar a carga centrada a gente precisa calcular a geometria, avaliar para qual intervalo de esbeltez se encontra a nossa coluna e aplicar para o intervalo as equações corretas. Vamos então nos atentar aos limites, nosso índice de esbeltez é dado por:

λ = L e r

Onde:

L e é o comprimento efetivo, e r é o raio de giração dado por:

r = I A  

Vamos calcular o parâmetro C c e avaliar alguns limites para λ , esse parâmetro é dado por:

C C = 2 π 2 E σ y

E aí temos 2 condições.

0 ≤ λ < C c

C c ≤ λ ≤ 200

Se estiver acima do mostrado, a coluna não pode ser projetada, vamos focar em encontrar onde o nosso parâmetro λ se encontra e aí para cada caso traremos a formulação necessária pra encontrar a tensão admissível e depois relacionar com P A D M da seguinte forma:

P A D M = σ A D M A

Passo 2

Aqui o problema nos disse que o comprimento efetivo é 4,0m e não especificou diferenças das condições de contorno para cada eixo, sendo assim só o que vai importar para definirmos o eixo fraco é o momento de inércia e para esse tipo de perfil o menor momento de inércia é em torno de y .

Com as dimensões da figura vamos aos cálculos:

I y = 2 I m e s a + I a l m a

Com:

I m e s a = h m e s a b m e s a 3 12 = 12,7 × 150 3 12 = 3,57 × 10 6 m m 4

E:

I a l m a = h a l m a b a l m a 3 12 = 250 × 6,35 3 12 = 5,33 × 10 3 m m 4

Substituindo na fórmula temos:

I y = 2 × 3,57 × 10 6 + 5,33 × 10 3

I y = 7,145 × 10 6 m m 4

E para o raio de giração também precisamos da área que é dada por:

A = 2 A m e s a + A a l m a = 2 × 12,7 × 150 + 6,35 × 250

A = 5397,5 m m 2

Enfim temos:

r y = I y A = 7,145 × 10 6 5397,5 = 36,38 m m

Passo 3

Vamos então ao nosso índice de esbeltez que é dado por:

λ y = L e r y = 4000 36,38 = 109,95

E o nosso parâmetro C c :

C C = 2 π 2 E σ y = 2 π 2 × 200 × 10 3 250 = 125,67

Ou seja:

λ y < C c

Daí para esse tipo de condição a tensão admissível é dada por:

σ A D M = σ y F S 1 - λ 2 2 C c 2

E:

F S = 5 3 + 3 8 × λ C c - 1 8 × λ C c 3

Substituindo os valores vamos calcular o fator de segurança:

F S = 5 3 + 3 8 × 109,95 125,67 - 1 8 × 109,95 125,67 3

Daí:

F S = 1,91

E voltando a tensão admissível podemos substituir os valores:

σ A D M = 250 1,91 × 1 - 1 2 × 109,95 125,67 2

Daí:

σ A D M = 80,8 M P a

E como:

P A D M = σ A D M A

Temos:

P A D M = 80,8 × 5397,5 m = 436118 N = 436,118 k N

Resposta

P A D M = 436,118 k N

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