Enunciado

3. As componentes do estado plano de deformação no ponto sobre a aba do pino são ϵ x = ( 200 × 10 - 6 ) , ϵ y = ( 180 × 10 - 6 ) e γ x y = ( - 300 × 10 - 6 ) . Use as equações de transformação da deformação e determine as deformações equivalentes no plano sobre um elemento orientado a um ângulo θ   =   60 ° em sentido anti-horário em relação à posição original. Trace um esboço do elemento distorcido devido a essas deformações no plano x - y .

Passo 1

Utilizando a equação de transformação da deformação normal para o eixo x ' , dado o valor do ângulo θ = 60 ° .

ϵ x ' =   ϵ x + ϵ y 2 +   ϵ x - ϵ y 2   ⋅ cos ⁡ 2 θ +   γ x y 2 ⋅ sen ⁡ ( 2 θ )

Substituindo os valores numéricos adequados:

ϵ x ' =   200 + 180 2 +   200 - 180 2   ⋅ cos ⁡ 120 ° + - 300 2 ⋅ sen ⁡ 120 ° ( 10 - 6 )

ϵ x ' = 55,10 × 10 - 6

Passo 2

E agora, repetindo a ideia do passo anterior, alterando apenas a fórmula de transformação de deformação pela correspondente à do eixo y ' :

ϵ y ' =   ϵ x + ϵ y 2 -   ϵ x - ϵ y 2   ⋅ cos ⁡ 2 θ -   γ x y 2 ⋅ sen ⁡ ( 2 θ )

Trocando as variáveis pelos seus valores númericos:

ϵ x ' =   200 + 180 2 +   200 - 180 2   ⋅ cos ⁡ 120 ° - - 300 2 ⋅ sen ⁡ 120 ° ( 10 - 6 )

ϵ y ' = 324,90 × 10 - 6

Passo 3

Utilizaremos agora a equação de transformação da deformação por cisalhamento de um elemento orientado a um ângulo θ   de 60 ° :

γ x ' y ' : =   2 -   ϵ x - ϵ y 2   ⋅ sen ⁡ 2 θ +   γ x y 2 ⋅ cos ⁡ ( 2 θ )

Trocando as variáveis pelos seus respectivos números:

γ x ' y ' : =   2 - 200 - 180 2 ⋅ s e n   120 ° +   - 300 2 ⋅ cos ⁡ 120 ° ( 10 - 6 )

γ x ' y ' = 132,679 × 10 - 6  

Passo 4

Dado que já obtemos as nossas novas deformações nos eixos x ' e y ' , já podemos fazer um esboço do nosso elemento distorcido. Ele vai ter, mais ou menos a seguinte cara:

Resposta

A deformação equivalente de um elemento no eixo x ' em um plano rotacionado vale:

ϵ x ' = 55,10 × 10 - 6

A deformação equivalente de um elemento no eixo y ' em um plano rotacionado vale:

ϵ y ' = 324,90 × 10 - 6

A deformação por cisalhamento equivalente de um elemento a um ângulo θ em um elemento rotacionado é igual a:

γ x ' y ' = 132,679 × 10 - 6  

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