Enunciado

As componentes do estado plano de deformação no ponto sobre a chave de porca são ϵ x = ( 260 × 10 - 6 ) , ϵ y = ( 320 × 10 - 6 ) e γ x y = ( 180 × 10 - 6 ). Use as equações de transformação da deformação para determinar as deformações principais no plano e a deformação por cisalhamento máxima no plano e a deformação normal média. Em cada caso, especifique a orientação do elemento e mostre como as deformações distorcem o elemento no plano x - y .

Passo 1

Primeiro, calcularemos as deformações principais no plano:

ϵ 1,2 =   ϵ x + ϵ y 2 ± ϵ x - ϵ y 2 2 + γ x y 2 2

Trocando os valores numéricos na fórmula:

ϵ 1,2 = 260 + 320 2 ± 260 - 320 2 2 + 180 2 2 ( 10 - 6 )

ϵ 1,2 ≅ 290 × 10 - 6 ± ( 94,87 × 10 - 6 )

ϵ 1 ≅ 290 × 10 - 6 + ( 94,87 × 10 - 6 )

ϵ 1 ≅ ( 385 × 10 - 6 )

ϵ 2 ≅ 290 × 10 - 6 - ( 94,87 × 10 - 6 )

ϵ 2 ≅ ( 195 × 10 - 6 )

Passo 2

Calculemos agora a tangente do ângulo no plano, 2 θ p :

tg ⁡ 2 θ p = γ x y ϵ x - ϵ y = ( 180 × 10 - 6 ) 260 × 10 - 6 - ( 320 × 10 - 6 ) = - 3

2 θ p = - 71,56 °

Logo nosso primeiro ângulo θ p 1 , que é metade de 2 θ p , vai ser:

θ p 1 ≅ - 35,8 °

E o nosso outro ângulo θ p 2 , é dado por:

θ p 2 ≅ 90 ° - 35,8 ° = 54,2 °

Passo 3

Com o ângulo θ p 1 obtido anteriormente, vamos calcular ϵ x ' :

ϵ x ' =   ϵ x + ϵ y 2 +   ϵ x - ϵ y 2   ⋅ cos ⁡ 2 θ +   γ x y 2 ⋅ sen ⁡ ( 2 θ )

ϵ x ' =   260 + 320 2 +     260 - 320 2 ⋅ cos ⁡ - 2 35,8 ° +   180 2 ⋅ sen ⁡ - 2 35,8 ° ( 10 - 6 )

ϵ x ' = 195 × 10 - 6

Passo 4

Agora, calcularemos a deformação por cisalhamento máxima no plano:

γ m á x , p l a n o 2 = ϵ x - ϵ y 2 2 + γ x y 2 2

Trocando por valores numéricos:

γ m á x , p l a n o 2 = 260 × 10 - 6 - 320 × 10 - 6 2 2 + ( 180 × 10 - 6 ) 2 2

γ m á x , p l a n o ≅ 190 × 10 - 6  

Passo 5

E precisamos também da deformação normal média:

ϵ m é d i a = ϵ x + ϵ y 2

Que substituindo os valores numéricos , sabemos ser igual a:

ϵ m é d i a = 260 × 10 - 6 + 320 × 10 - 6 2 = ( 290 × 10 - 6 )

ϵ m é d i a ≅ 290 × 10 - 6

Passo 6

Calculemos, em seguida, a tangente de ( 2 θ s ) :

tg ⁡ 2 θ s = ϵ x - ϵ y γ x y = 260 × 10 - 6 - ( 320 × 10 - 6 ) ( 650 × 10 - 6 ) = 0,3333

2 θ s = 18,44 °

θ s = 9,22 °

O primeiro ângulo θ s 1 , é igual a θ s :

θ s 1 = 9,22 °

E o outro θ s 2 , é igual a:

θ s 2 = 9,22 ° - 90 ° = - 80,78 °

Resposta

As deformações principais no plano são:

ϵ 1 = ( 385 × 10 - 6 )

ϵ 2 = ( 195 × 10 - 6 )

A deformação por cisalhamento máximo é:

γ m á x , p l a n o = 190 × 10 - 6

E a deformação normal média:

ϵ m é d i a = 290 × 10 - 6

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