Enunciado

As componentes do estado plano de deformação no ponto sobre o dente da engrenagem são ϵ x = ( 520 × 10 - 6 ) , ϵ y = ( - 760 × 10 - 6 ) e γ x y = ( - 750 × 10 - 6 ). Use as equações de transformação da deformação para determinar as deformações principais no plano e a deformação por cisalhamento máxima no plano e a deformação normal média. Em cada caso, especifique a orientação do elemento e mostre como as deformações distorcem o elemento no plano x - y .

Passo 1

Primeiro, calcularemos as deformações principais no plano:

ϵ 1,2 =   ϵ x + ϵ y 2 ± ϵ x - ϵ y 2 2 + γ x y 2 2

Trocando os valores numéricos na fórmula:

ϵ 1,2 = 520 + - 760 2 ± 520 - - 760 2 2 + - 750 2 2 ( 10 - 6 )

ϵ 1,2 = - 120 × 10 - 6 ± 741,77 × 10 - 6

ϵ 1 = - 120 × 10 - 6 + ( 741,77 × 10 - 6 )

ϵ 1 ≅ 622 × 10 - 6

ϵ 2 = - 120 × 10 - 6 - ( 741,77 × 10 - 6 )

ϵ 2 ≅ - 862 × 10 - 6

Passo 2

E agora, vamos calcular a tangente do ângulo no nosso estado plano 2 θ p :

tg ⁡ 2 θ p = γ x y ϵ x - ϵ y = ( - 750 × 10 - 6 ) 520 × 10 - 6 - ( - 760 × 10 - 6 ) = - 0,586

2 θ p = - 30,36 °

O ângulo θ p 1 é dado por metade de 2 θ p :

θ p 1 = - 15,18 °

E o ângulo θ p 2 é dado por:

θ p 2 = 90 ° - 15,18 ° = 74,82 °

Passo 3

Vamos calcular, em seguida ϵ x ' através da fórmula abaixo:

ϵ x ' =   ϵ x + ϵ y 2 +   ϵ x - ϵ y 2   ⋅ cos ⁡ 2 θ +   γ x y 2 ⋅ sen ⁡ ( 2 θ )

Substituímos os valores numéricos adequados:

ϵ x ' = 520 - 760 2 +   520 + 760 2   ⋅ cos ⁡ - 2 15,18 ° +   - 750 2 ⋅ sen ⁡ - 2 15,18 ° ( 10 - 6 )

ϵ x ' = 622 × 10 - 6

Passo 4

Agora, calcularemos a deformação por cisalhamento máxima no plano:

γ m á x , p l a n o 2 = ϵ x - ϵ y 2 2 + γ x y 2 2

Trocando por valores numéricos:

γ m á x , p l a n o 2 = 520 × 10 - 6 - - 760 × 10 - 6 2 2 + ( - 750 × 10 - 6 ) 2 2

γ m á x , p l a n o = 1484 × 10 - 6

Passo 5

E já sabemos que a deformação normal média é dada por:

ϵ m é d i a = ϵ x + ϵ y 2

De modo que substituímos os valores correspondente

ϵ m é d i a = 520 × 10 - 6 + - 760 × 10 - 6 2 = ( - 120 × 10 - 6 )

ϵ m é d i a = ( - 120 × 10 - 6 )

Passo 6

Falta calcular a tangente do ângulo de cisalhamento ( 2 θ s ) :

tg ⁡ 2 θ s = ϵ x - ϵ y γ x y = 520 × 10 - 6 - ( 760 × 10 - 6 ) ( - 750 × 10 - 6 ) = 1,7067

2 θ s = 59,6 °

O primeiro ângulo θ s 1 é dado pela metade de 2 θ s :

θ s 1 = 29,8 °

E o segundo ângulo θ s 2 é dado pela subtração de 90 ° com θ s 1 :

θ s 2 = 90 ° - 29,8 ° = 60,2 °

Passo 7

E por fim, calculando γ x ' y ' através da deformação cisalhante, para ver se acertamos nosso γ m á x , p l a n o , finalizamos nossos cálculos:

γ x ' y ' 2 = - ϵ x - ϵ y 2 ⋅ s e n 2 θ + γ x y 2 c o s ⁡ ( 2 θ )

Trocando as variáveis pelos seus números:

γ x ' y ' 2 = - 850 - - 760 2 ⋅ s e n 2 ( 29,8 ° + - 750 2 c o s ⁡ ( 2 ( 29,8 ° ) ( 10 - 6 )

γ x ' y ' = - 1484 × 10 - 6

Resposta

As deformações principais no plano são:

ϵ 1 = 622 × 10 - 6

ϵ 2 = - 862 × 10 - 6

A deformação por cisalhamento máximo é:

γ m á x , p l a n o =   1484 × 10 - 6

E a deformação normal média:

ϵ m é d i a = - 120 × 10 - 6

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