Enunciado

Um cabo fino é enrolado ao longo da superfície cuja forma é y =0,02x², onde x e y são dados em mm. A posição original da extremidade B é x = 250 mm. Se o cabo sofrer uma deformação normal   ∈ = 0,0002x ao longo de seu comprimento, determina mudança no comprimento do cabo. Dica: Para a curva y = f(x), ds = 1 + d y d x 2 d x .

Passo 1

Olá, queridão! Tá bem?

Então, não se assusta com essas funções e tudo mais, vamos com calma e conseguir resolver essa juntos.

Primeiro, ele diz que o cabo está enrolado nessa superfície e vai até x = 250   m m . Então se a gente for desenhar só ele no plano, seria algo assim:

Percebe que ele começa em x = 0 e termina em x = 250   m m . E a gente marcou ali um pedacinho desse cabo, de comprimento d s (um comprimento beeem pequeno).

Aí ele diz que o cabo sofre uma deformação normal que vale ϵ =   0,0002 x e pede o quando o comprimento do cabo variou.

Bora ver como achar isso!

Passo 2

Então, cara, se a gente tivesse um cabo reto de comprimento L inicial e a gente disse que ele teve uma deformação de ϵ , a variação de comprimento desse cabo seria:

Δ L = ϵ L

Na nossa situação vamos ter algo parecido. Só que nosso cabo não está reto. E aí o que muda? Bem, a gente pode olhar só um pedacinho do nosso cabo. Esse pedacinho é tão pequeno, que podemos considerar que ele é reto.

Lembra do comprimento desse pedacinho? A gente disse que L = d s . E como o cabo sofre uma deformação ϵ =   0,0002 x , esse pedacinho do cabo também sofre essa deformação.

Então se a gente fosse escrever essa variação bem pequena no comprimento desse pedacinho Δ L = d δ , seria:

Δ L = ϵ L

d δ = ϵ d s

d δ = 0,0002 x d s

Passo 3

Mas não para por aí! Ele diz que para y = f x , ou seja, para um cabo dado por uma função f x , o comprimento de um pedacinho desse cabo d s , é dado por:

d s = 1 + d y d x 2 d x

Onde d y d x é a derivada de y = f x . No nosso caso, o cabo é dado por

y = 0,02 x 2

Então a derivada fica:

d y d x = 2 0,02 x = 0,04 x

E nosso d s fica:

d s = 1 + d y d x 2 d x

d s = 1 + 0,04 x 2 d x

d s = 1 + 0,0016 x 2 d x

E aí o alongamento do nosso pedacinho fica:

d δ = 0,0002 x d s

d δ = 0,0002 x 1 + 0,0016 x 2 d x

Passo 4

A gente tem a variação de comprimento de um pedacinho do nosso cabo. Para saber a variação de comprimento do cabo todo precisamos somar essa variação para cada pedaço que compõem o cabo. Como? Integrando!

d δ = 0,0002 x 1 + 0,0016 x 2 d x

δ = 0,0002 ∫ 0 250   m m x 1 + 0,0016 x 2 d x

Percebe que a gente integrou de 0 a 250   m m porque nosso cabo está dentro desse intervalo de x , e x deve ser dado em m m .

Aí temos uma integral para resolver. Bora usar essa substituindo simples:

u = 1 + 0,0016 x 2

d u = 0,0032 x d x

Usando essa substituição e calculando, vamos ter:

δ = 42,252 m m

Resposta

δ = 42,252 m m

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