Enunciado

O cone circular reto é formado girando-se a área sombreada em torno do eixo x . Determine o momento de inércia I x e expresse o resultado em termos da massa total m do cone. O cone tem uma densidade constante ρ .

Passo 1

Bom, sabemos que d m = ρ . d V , então, para a figura dada, podemos considerar d m = ρ ( π   y 2   d x ) .

Passo 2

Feito o Passo 1, podemos encontrar a massa total do cone. Para isso, devemos integrar a massa de 0 a h . Então,

m = ∫ 0 h ρ   π   r 2 h 2   x 2   d x = p π r 2 h 2 1 3 h 3 = 1 3 ρ π r 2 h

Passo 3

Calculamos a massa do cone, show! Agora vamos calcular o momento de inércia no eixo x .

d I x = 1 2 y 2 d m =

= 1 2 y 2 ρ π y 2 d x =

= 1 2 ρ π r 4 h 4 x 4 d x =

I x = ∫ 0 h 1 2 ρ π r 4 h 4 x 4 d x = 1 10 ρ π r 4 h

Passo 4

Como o enunciado pede que calculemos o momento de inércia como função da massa, faremos isso!

I x = 1 10 ρ π r 4 h = 3 10 1 3 ρ π r 2 h r 2 = 3 10 m r 2

Resposta

I x = 3 10 m r 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

A pá única PB do ventilador tem uma massa de 2 kg e um momento de inércia I G = 0,18 kg.m² em relação a um eixo passando pelo seu centro de massa G. Se a pá é submetida a uma aceleração angular α = 5
A roda de 150 kg tem um raio de giração em relação a seu centro de massa O de k O = 250 mm. Se ela gira no sentido anti-horário com uma velocidade angular ω = 1200 rev/min e a força de tração aplicada
Determine a posição r P do centro de percussão P da barra fina de 5kg. (Ver problema 17.66.) Qual é a componente horizontal da força que o pino em A exerce sobre a barra quando ela é atingida em P com
A mangueira está enrolada em uma espiral no carretel e é puxada para fora por uma força horizontal de P = 200 N. Determine a aceleração angular do carretel após ele ter realizado 2 revoluções. Inicial
A roda de 150 kg tem um raio de giração em relação a seu centro de massa O de k O = 250 mm. Se ela gira no sentido anti-horário com uma velocidade angular ω = 1200 rev/min no instante em que as forças