Enunciado

O cone homogêneo tem uma cavidade cônica cortada, conforme a figura. Determine a profundidade d da cavidade em termos de h de modo que o cone se equilibre sobre o pivô e permaneça em equilíbrio indiferente.  

Passo 1

Diagrama do corpo livre:

Passo 2

Começamos escrevendo a equação do centro de gravidade do cone com respeito à base:

y - = 1 4 h + d

H é altura do cone, de é a altura interna do cone. y -   é o centro de gravidade do cone.

Então, podemos escrever que: y = y - - d c o s θ Y = 1 4 h + d - d c o s θ

Passo 3

Agora podemos escrever a equação da função da energia potencial para o sistema:

V = W × y V = W × 1 4 h + d - d c o s θ V = W 1 4 h - 3 d c o s θ V = W h - 3 d 4 c o s θ

Passo 4

Para encontrar a posição de equilíbrio, precisamos encontrar a primeira derivada da expressão da energia potencial:

d V d θ = d d θ W h - 3 d 4 c o s θ d V d θ = - W h - 3 d 4 s e n θ = 0 ⇒ s e n θ = 0

Passo 5

Para analisar o equilíbrio, devemos tomar a segunda derivada:

d 2 V d θ 2 = - W h - 3 d 4 c o s θ d 2 V d θ 2 θ = 0 = - W h - 3 d 4 c o s 0 º = 0 - W h - 3 d 4 × 1 = 0 h - 3 d = 0 d = h 3  

Portanto a profundidade do cone deve ser d = h 3 para que haja equilíbrio indiferente

Resposta

d = h 3

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