Enunciado

O conjunto de pendural é usado para suportar um carregamento distribuído w   =   12   k N / m . Determine a tensão de cisalhamento média no parafuso de 10   m m de diâmetro em A e a tensão de tração média na haste A B , com diâmetro de 12   m m . Se a tensão de escoamento por cisalhamento para o parafuso for τ e = 175   M P a e a tensão de escoamento por tração para a haste for σ e   =   266   M P a , determine o fator de segurança em relação ao escoamento em cada caso.

Passo 1

E aí meu povo, tudo joia com vocês? Espero que estejam bem e preparados para mais uma resolução bacaninha. A gente quer achar a tensão média em A B , e no pino A . E saber o fator de segurança dessas tensões.

Antes de tudo, vamos deixar anotado aqui os dados fornecidos pelo enunciado e coloca-los de acordo com a notação que adotaremos aqui, então

τ y = 175   M P a ,     σ y = 266 M P a ,     w = 12 k N m

E temos também o diâmetro do pino e da barra AB:

d p i n o = 10   m m ,     d a b = 12 m m

Devemos observar que a força que atua sobre a barra na horizontal pode ser decomposta em uma componente horizontal e uma componente vertical da seguinte forma

A gente sabe que ela precisa estar nesse sentido porque ela é responsável por segurar o elemento com a carga distribuída. E aí a gente pode escrever as componentes dela assim:

F a b x = F a b ⋅ c o s θ  

F a b y = F a b ⋅ s e n θ

Esse seno e cosseno a gente escrever usando a trigonometria do triângulo A B C de catetos 1,2   m e 0,9   m . Percebe que ele é do tipo 3/4/5, porque se a gente divide esses catetos por 0,3 , a gente acha 4 e 3 . Logo teremos algo assim:

Passo 2

Agora que fizemos toda nossa base para a resolução, vamos a ela. Como a gente quer a tensão em A B e no pino A , precisamos descobrir F a b .

Para isso, vamos calcular o somatório de momento em C , tendo o sentido anti-horário como positivo, assim, a gente ignora F c , e acha só que a gente quer ehehe

∑ M c = 0

( F a b y ) ⋅ 1,2 m - 12 k N m ⋅ 1,8 m ⋅ 1,8 m 2 = 0

Substituindo nossa expressão de F a b y e de s e n   θ :

F a b   s e n   θ ⋅ 1,2 m - 12 k N m ⋅ 1,8 m ⋅ 1,8 m 2 = 0

F a b ⋅ 0,9 1,5 ⋅ 1,2 m - 12 k N m ⋅ 1,8 m ⋅ 1,8 m 2 = 0

Isolando F a b :

F a b = 27 k N

Passo 3

Dessa forma, temos tudo o que é necessário para calcularmos as tensões. Vamos começar com a tensão de cisalhamento média no parafuso que vai ser dada por

τ = P A

Percebe pelo detalhe do parafuso que ele é ligado na barra A B por uma placa. E na A C por duas. Isso faz com que a gente tenha uma situação assim:

Onde a força F a b na barra A B é transmitida para a barra A C através de duas placas, que recebem metade dessa força cada uma. Aí nessa situação, dizemos que o cisalhamento é duplo e P = 0,5 F a b . Assim nossa expressão da tensão fica:

τ = 0,5 F a b A

E como o parafuso tem seção circular:

τ = 0,5 ⋅ F a b π 4 ⋅ d 2

Passo 4

Substituindo os dados:

τ = 0,5 ⋅ 27 10 3 N π 4 ⋅ 10 m m 2 ≈ 171,89 M P a

O resultado sai em M P a porque a gente usou m m 2 e N (newtons).

E o fator de segurança dessa tensão em relação ao escoamento é calculado assim

F S = τ e τ

Ou seja, o fator de segurança de uma tensão é sempre a razão entre a tensão admissível de e a tensão que de fato o elemento suporta. Substituindo os dados:

F S = 175 171,89 = 1.02

Passo 5

Vamos lá, já estamos quase acabando e se você chegou até aqui não vamos desistir agora, né? Lembre-se: o Naruto não desistiria. Pois então, para a haste A B nós temos que a força de tração média será dada por

σ = N A  

Onde N = F a b e o diâmetro a ser usado vai ser d a b = 12 m m , dessa forma vamos obter

σ = N A = F a b π 4 ⋅ d 2

σ = 27 k N π 4 ⋅ 12   m m 2 ≈ 238,73 M P a

Agora o gran finale para acabar com o problema de vez vamos ter que o fator de segurança para a haste será

F S = σ e σ

Novamente o F S é dado pela razão entre tensão admissível e tensão suportada na situação. Substituindo os valores:

F S = 266 238,73 = 1.11

Resposta

F S p a r a f u s o = 1.02

F S h a s t e = 1.11

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