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Para o conjunto do Problema 18.77, determine as reações dinâmicas em A e B em t = 2 s.

PROBLEMA 18.77 O conjunto mostrado na figura tem massa de 6 kg e consiste em quatro placas finas semicirculares de alumínio com 400 mm de diâmetro, soldadas a um eixo leve AB de 1 m de comprimento. O conjunto está em repouso ( ω = 0) no instante t = 0 quando um binário M0 é aplicado do modo mostrado, fazendo o conjunto girar uma volta completa em 2 s. Determine (a) o binário M0, (b) as reações dinâmicas em A e B em t = 0.

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine a) o binário M0, (b) as reações dinâmicas em A e B em t = 0.

Rotação do eixo fixo com aceleração angular constante.

α = α i ,                 ω = ω i

θ = θ 0 + ω 0 t + 1 2 α t 2 = 1 2 α t 2

α = 2 θ t 2 = 2 2 π 2 2 = 3.1416   rad/ s 2

ω = ω 0 + α t = α t = 3.1416 2 = 6.2832   rad/s

Use eixos centroides x, y, z com origem em C.

H C = I x ω i - I x y ω j - I x z ω k

Passo 2

Deixe o referencial Cxyz girar com velocidade angular

Ω = ω = ω i

H ˙ C = H ˙ C C x y z + Ω × H C = I x α i - I x y α j - I x z α k + I x z ω 2 j - I x y ω 2 k

Momentos exigidos e produtos da inércia.

Seja ρ = m A = massa por unidade de área.

I massa = ρ I área                 r = 8   in . = 0.66667   ft                 m = 12 32.2 = 0.37267   lb ∙ s 2 /ft

ρ = m 2 π r 2 = 0.37267 2 π 0.66667 2 = 0.13345   lb ∙ s 2 / ft 3

I x = 0.13345 1 2 π 0.66667 4 = 0.041407   lb ∙ s 2 /ft

I x y = 0.13345 - 4 3 0.66667 4 = - 0.035147   lb ∙ s 2 /ft

I x z = 0.13345 - 4 3 0.66667 4 = - 0.035147   lb ∙ s 2 /ft

Passo 3

Uma vez que o centro de massa está no eixo de rotação,

a - = 0

Σ F = A + B = Σ F eff = m a - = 0                 A = - B

Σ M C = M 0 i + - b i × A + b i × B = M 0 i + 2 b i × B y j + B z k

= M 0 i - 2 b B z j + 2 b B y k                     onde                   2 b = 40   in . = 3.3333   ft

Σ M C = H ˙ C                     Resolva em componentes .

i :                 M 0 = I x α = 0.041407 3.1416

M 0 = 0.1301   lb ∙ ft

j :               - 2 b   B z = - I x y α + I x z ω 2

B z = - - - 0.035147 3.1416 + - 0.035147 6.2832 2 3.3333 = 0.383   lb

A z = - 0.383   lb

k :                 2 b B y = - I x z α - I x y ω 2

B y = - - 0.035147 3.1416 + - 0.035147 6.2832 2 3.3333 = 0.449   lb

A y = - 0.449   lb

Resposta

A = - 0.449   l b j + 0.383   l b k

B = 0.449   l b j - 0.383   l b k

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