Enunciado

Considere um cubo unitário com um vértice na origem e três lados adjacentes colocados ao longo dos três eixos de um sistema de coordenadas retangulares. Encontre os vetores que descrevem as diagonais do cubo. Qual é o ângulo entre qualquer par diagonais?

Passo 1

Oi galera !!, vamos responder mais uma questão do nosso livro de Dinâmica clássica de partículas e sistemas.

Para essa questão vamos primeiro desenhar nosso cubo. Para isso, vamos propor nosso eixo de origem e como também as dimensões do cubo.

Vamos, agora para o próximo passo e encontrar os valores das diagonais do cubo.

Passo 2

Galera, lembrando um pouco de álgebra, podemos encontrar a diagonal do cubo.

E no total, serão 4 diagonais para serem descobertas.

D 1 é o ponto de origem ( 0,0 , 0 ) até o ponto ( 1,1 , 1 )

D 1 = ( 1,1 , 1 ) -   ( 0,0 , 0 )

D 1 = ( 1,1 , 1 )  

D 2 é ponto ( 1,0 , 0 ) até o ponto ( 0,1 , 1 )

D 2 = ( 0,1 , 1 ) -   ( 1 , 0,0 )

D 2 = ( - 1,1 , 1 )

D 3 é o ponto ( 0,0 , 1 ) até o ponto ( 1,1 , 0 )

D 3 =   ( 1,1 , 0 ) - ( 0,0 , 1 )

D 3 = ( 1,1 , - 1 )

D 4 é o ponto ( 0,1 , 0 )   até o ponto ( 1,0 , 1 )

D 4 = ( 1,0 , 1 ) - ( 0,1 , 0 )

D 4 = ( 1 , - 1,1 )

Passo 3

Estamos quase lá, vamos encontrar o modulo desse vetores

D 1 = 1 2 + 1 2 + 1 2 = 3

D 2 = - 1 2 + 1 2 + 1 2 = 3

D 3 = 1 2 + 1 2 + - 1 2 = 3

D 4 = 1 2 + - 1 2 + 1 2 = 3

Assim, usando a relação entre os vetores podemos encontrar o ângulo para qualquer umas das diagonais,

D 1 . D 2 D 1 D 2 = cos θ = 1,1 , 1 . - 1,1 , 1 3 = 1 3

θ = c o s - 1 1 3 = 70.5°

Passo 4

Como comentado anteriormente, podemos realizar uma extrapolação para as próximas diagonais,

D 1 . D 2 D 1 D 2 = D 1 . D 4 D 1 D 4 = D 2 . D 3 D 2 D 3 = D 2 . D 4 D 3 D 4 = D 3 . D 4 D 3 D 4 = ± 1 3

Resposta

Assim, encontramos que para um cubo, o ângulo será igual a,

θ =70.5°

Espero que ajudem nos estudos, até próxima

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