Enunciado

Constatou-se que a resposta de vibração livre de um sistema massa-mola tem uma frequência de 2   r a d / s , uma amplitude de 10   m m e um deslocamento de fase de 1   r a d em relação a t = 0 . Determine as condições iniciais que causaram a vibração livre. Considere que o fator de amortecimento do sistema é 0,1 .

Passo 1

Queremos as condições iniciais que causaram a vibração livre descrita no enunciado.

A frequência natural de vibração livre para o sistema descrito é dada por:

ω n = ω d 1 - ζ 2

Onde ω d é a frequência amortecida e ζ é o fator de amortecimento. Substituindo os dados, temos que:

ω n = 2 1 - 0,1 2

ω n = 2,0101   r a d / s

O ângulo de fase ϕ 0 nos foi fornecido e vale 1   r a d . Sabendo que:

ϕ 0 = tan - 1 ⁡ ω d x 0 x ˙ 0 + ζ ω n x 0

Se substituirmos os dados, encontraremos uma equação que relaciona as condições iniciais do sistema. Temos que:

1 = tan - 1 ⁡ 2 x 0 x ˙ 0 + 0,1 2,0101 x 0

tan ⁡ 1 = 2 x 0 x ˙ 0 + 0,1 2,0101 x 0

x ˙ 0 + 0,20101 x 0 = 1,284 x 0

A amplitude também nos foi fornecida. Temos que:

X 0 = x 0 2 + x ˙ 0 + ζ ω n x 0 ω d 2 1 / 2

Sabendo que X = 0,01   m , temos que:

0,01 = x 0 2 + x ˙ 0 + 0,20101 x 0 2 2 1 / 2

Da equação passada, sabemos que:

x ˙ 0 + 0,20101 x 0 = 1,284 x 0

Portanto, podemos substituir:

0,01 = x 0 2 + 1,284 x 0 2 2 1 / 2

x 0 2 1,412164 = 0,0001

x 0 = 0,008415   m

Logo:

x ˙ 0 + 0,20101 0,008415 = 1,284 0,008415

x ˙ 0 = 0,009133   m / s

Resposta

x 0 = 0,008415   m

x ˙ 0 = 0,009133   m / s

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