Enunciado

Uma viga de aço de 1   m de comprimento suporta uma massa de 50   k g em sua extremidade livre, como mostra a Figura 2.77. Determine a frequência natural de vibração transversal do sistema modelando-o como um sistema com um grau de liberdade.

Passo 1

Queremos a frequência natural do sistema dado na figura do enunciado.

A frequência natural é dada por:

ω n = k e q m

Temos que encontrar a rigidez equivalente k e q .

Para o sistema dado, temos que:

k e q = P y C

Onde y C é a equação para deflexão no ponto devido a carga. Para saber o modo desta equação você pode analisar o apêndice B que diz respeito à “deflexão das vigas e placas” e obter a seguinte fórmula para o sistema:

y x = P a 4 l E I x 2 - l x 2 - 2 l 3 a + 1 x - l 3

Temos que l = 0,8   m e a = 0 , 2   m . Como queremos saber a equação aplicada ao ponto onde a massa está agindo, temos que:

x = l + a

Passo 2

Substituindo na equação, temos que:

y C = P a 4 l E I l + a 2 - l l + a 2 - 2 l 3 a + 1 l + a - l 3

Temos que o momento de inércia da viga é dado por:

I = 1 12 b h 3

Nos foi dito que a viga tem seção transversal quadrada de 5   c m × 5   c m , portanto, b = 0,05   m e h = 0,05   m .

Temos que:

I = 1 12 0,05 0,05 3

I = 52,0833 ⋅ 10 - 8   m 4

Passo 3

Portanto, a rigidez equivalente do sistema será:

k e q = P y C = P P a 4 l E I l + a 2 - l l + a 2 - 2 l 3 a + 1 l + a - l 3

k e q = 4 l E I a l + a 2 - l l + a 2 - 2 l 3 a + 1 l + a - l 3

Substituindo os valores, temos que:

k e q = 4 0,8 207 ⋅ 10 9 52,0833 ⋅ 10 - 8 0,2 1 2 - 0,2 1 2 - 2 0,8 3 0,2 + 1 0,2 3

Resolvendo, temos que:

k e q = 1010,5448 ⋅ 10 6   N / m

Podemos finalmente descobrir a frequência natural do sistema:

ω n = k e q m = 1010,5448 ⋅ 10 6 50

ω n = 449,5642   r a d / s

Resposta

ω n = 449,5642   r a d / s

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