Enunciado

O corpo mostrado em seção transversal é um anel circular completo formado pela rotação da área octogonal em torno do eixo z. Toda a superfície deve ser coberta com um revestimento especial. Determine esta área de superfície.

Passo 1

Lembre-se dos teoremas de Pappus que a superfície externa de um corpo pode ser encontrada pela fórmula:

A = θ y - L

E o Volume pode ser encontrado pela fórmula:

V = θ y - A

y - representa a distância do centro de massa do eixo de revolução

Este problema é realmente fácil de resolver. Primeiro, olhamos para o Problema Amostra 5/3, a partir do qual sabemos que o centro de massa de um semicírculo é:

y - = 4 r 3 π

Passo 2

No entanto, o resultado do Problema Resolvido 5/3 é em relação ao centro do círculo. Precisamos disso em relação ao eixo vertical. Então, fazendo esses ajustes conforme mostrado na figura:

r - = 1 1 2 - 4 r 3 π = 3 2 - 4 3 4 3 π = 1.5 - 1 π = 1.18 ' '

Já a Área é a metade de um círculo completo com o mesmo raio, então:

A = 1 2 π r 2 = 1 2 π d f r a c 34 2 = π d f r a c 932 = 0.88   in 2

Passo 3

Em seguida, precisamos encontrar θ , uma vez que a revolução é 360 ° , escrevemos:

θ = 2 π

Finalmente, estamos procurando encontrar o Volume aqui, então usaremos a segunda fórmula do Teorema de Pappus:

V = θ r - A

Usando isso, escrevemos:

V = θ r - A = 2 π 1.18 0.88 = 6.56   in 3

Passo 4

Para encontrar a área da superfície, precisamos apenas dividir as linhas em L1 e L2, conforme mostrado na figura. O centro de massa para L1 pode ser encontrado usando o Problema de Amostra 5/1:

y - = 2 r π

No entanto, o resultado do Problema Resolvido 5/1 é em relação ao centro do círculo. Precisamos disso em relação ao eixo vertical. Então, fazendo esses ajustes conforme mostrado na figura:

r - L 1 = 1 1 2 - 2 r π = 3 2 - 2 3 4 π = 1.02 ' '

Passo 5

O comprimento de L1 é o de um semicírculo, então:

L 1 = π r = π 3 4 = 2.36 ' '

Quanto à distância entre o centro de massa de L2 e o eixo vertical e o comprimento de L2 é bastante simples:

r - L 2 = 3 2

L 2 = 2 r = 3 2

Passo 6

Finalmente, estamos procurando encontrar a Área da superfície aqui, então usaremos a primeira fórmula do Teorema de Pappus:

A = θ r - L

Usando isso, escrevemos:

A = θ r - L = 2 π r 1 L 1 + r 2 L 2 = 2 π 1.02 ∙ 2.36 + 3 2 3 2 = 2 π ∙ 4.66 = 29.3   inch 2

Resposta

29.3   inch 2

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