Enunciado

Uma corrente de elos de comprimento L = 8   m com uma massa de 48   k g repousa sobre uma superfície horizontal lisa quando a extremidade A volta sobre si mesma puxada por uma força P aplicada à extremidade A . (a) Calcule o valor necessário de P para fornecer a A uma velocidade constante de 1,5   m / s . (b) Calcule a aceleração da extremidade A se P = 20   N e se v = 1,5   m / s quando x = 4   m

Passo 1

Podemos pensar na “metade superior” da corrente como se fosse um sistema cuja massa está aumentando, Isso vai simplificar bastante as nossas contas.

Nesse caso, P é a única força externa agindo sobre o sistemas, então:

∑ F x = P = m v ˙ + m ˙ u

Nosso primeiro objetivo é calcular a força P no caso em que A se move com uma velocidade v constante.

Passo 2

(a) Bom, já que v é uma constante:

v ˙ = d d t v = 0

E nossa equação fica:

P = m ˙ u

Como todas as partes da corrente se movem com a mesma velocidade, temos:

u = 1,5   m / s

E agora vamos procurar uma expressão para a taxa de variação da massa m . Estamos considerando apenas a quandidade de massa que está no trecho de comprimento x / 2 , então:

m = ρ x 2

E derivando em relação ao tempo:

m ˙ = 1 2 ρ x ˙

E então:

m ˙ = 1 2 48 8 ( 1,5 )

Já que a derivada x ˙ também é a própria velocidade da corrente:

m ˙ = 4,5   k g / s

Agora é só substituir:

P = m ˙ u

P = 4,5 1,5 = 6,75   N

Passo 3

(b) Agora estamos procurando o valor da aceleração no caso em que P = 20   N , e em que v = 1,5   m / s no instante em que x = 4   m .

Dessa vez a aceleração não é constante, então temos que voltar para a nossa equação original:

P = m v ˙ + m ˙ u

Quando x = 4   m , a massa do trecho que nos interessa é:

m = ρ x 2 = 6 4 2 = 12

E a taxa de variação da massa é:

m ˙ = 1 2 ρ x ˙ = 1 2 6 1,5 = 4,5   k g / s

E a velocidade u é:

u = 1,5   m / s

Agora é só substituir:

20 = 12 v ˙ + ( 4,5 ) ( 1,5 )

v ˙ = 20 - 4,5 1,5 12 = 1,104   m / s 2

Resolvido!

Resposta

(a) P = 6,75   N .

(b) a = 1,104   m / s 2 .

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