Enunciado

O carrinho transporta uma pilha de uma corrente de elos com massa ρ por unidade de comprimento. A corrente passa livremente através do orifício no carrinho e é conduzida ao repouso, elo por elo, pela tração T na porção da corrente que repousa sobre o solo e está presa em sua extremidade A . O carrinho e a corrente sobre ele se deslocam sob a ação da força constante P e possuem velocidade v 0 e massa m 0 quando x = 0 . Determine as expressões para a aceleração a e a velocidade v do carrinho em termos de x se todo o atrito é desprezado. Encontre também T . Observe que o elo de transição 2 é desacelerado da velocidade v para a velocidade nula pela tração T transmitida pelo último elo horizontal 1 . Observe também que o elo 2 não exerce nenhuma força sobre o elo seguinte 3 durante a transição. Explique por que o termo m ˙ u está ausente se a E q .   4 / 20 é aplicada a esse problema.

Passo 1

Nossa primeira tarefa é encontrar uma expressão para a aceleração do carrinho. Vamos aplicar a segunda lei de Newton:

∑ F x = m a

A tração na corrente não é transmitida para o carrinho, e é totalmente voltada para levar a corrente ao repouso. Então a única força que precisamos considerar é P :

P = m a

Mas cuidado, a massa não é constante, ela varia conforme a corrente “cai” do carinho:

m = m o - ρ x

Então:

P = m 0 - ρ x a

a = P m 0 - ρ x

Beleza, essa é a espressão que queríamos.

Passo 2

Nossa próxima tarefa é encontar a velocidade em função da posição. Podemos fazer isso reescrevendo a aceleração desse jeito:

a = d v d t = d v d x d x d t = v d v d x

a   d x = v   d v

E substituindo a nossa fórmula para a aceleração:

v   d v = P m 0 - ρ x   d x

E ficamos com uma equação diferencial separável que pode ser resolvido para acharmos a nossa função:

∫ v 0 v v   d v = ∫ 0 x P m 0 - ρ x   d x

v 2 2 - v 0 2 2 = P ∫ 0 x 1 m 0 - ρ x d x

v 2 - v 0 2 = - 2 P ρ ln ⁡ m 0 - ρ x + 2 P ρ ln ⁡ m 0

v 2 - v 0 2 = 2 P ρ ln ⁡ m 0 m 0 - ρ x

E agora odemos isolar a velocidade:

v t = 2 P ρ ln ⁡ m 0 m 0 - ρ x + v 0 2

Passo 3

Agora só falta encontrar a tração T na corrente. Podemos pensar que T age como uma força para o “escoamento” da corrente, em que a taxa de escoamento de massa é:

m ' = ρ v

E a força “imprime” a seguinte variação de velocidade:

Δ v = 0 - v

T = m ' Δ v = - ρ v 2

Mas como a tração é a mesma em todos os pontos da corrente, apontando em mais de uma direção, faz sentido tratar apenas do seu módulo:

T = ρ v 2

Passo 4

A equação 4 / 20 que o enunciado menciona é a seguinte:

∑ F = m ˙ u + m v ˙

O termo m ˙ u está associado à força produzida pelas partículas que deixam um certo corpo sobre o próprio corpo. Pense por exemplo no combustível que sai de um foguete, e exerce uma força sobre ele ao fazer isso.

Nesse caso, segundo o próprio enunciado, a corrente “passa livremente através do orifício do carrinho”, então é de se esperar que esse termo seja nulo.

Resposta

A aceleração é a ( x ) = P m 0 - ρ x   e a velocidade é v t = 2 P ρ ln ⁡ m 0 m 0 - ρ x + v 0 2 e a tração é T = ρ v 2 .

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