Enunciado

Um pequeno veículo com propulsão por foguete possui uma massa inicial de 60   k g , incluindo 10   k g de combustível. O combustível é queimado na taxa constante de 1   k g / s com uma velocidade de exaustão em relação ao bocal de 120   m / s . Após a ignição o veículo é liberado a partir do repouso sobre a inclinação de 10 ° . Calcule a velocidade máxima v atingida pelo veículo. Despreze completamente o atrito.

Passo 1

Conforme o foguete queima combustível, a sua massa total vai dimunuir. Podemos escrever uma expressão que dê a massa em função do tempo:

m ( t ) = m o - m ˙ t

m ( t ) = 60 + 10 - 1 t = 70 - t

Agora vamos olhar para as forças que agem sobre o foguete. Primeiro temos a componente da força peso:

P x = - m g sen ⁡ 10 °

E o sinal negativo aparece porque vamos definir o sentido negativo como sendo “morro abaixo”. E a força do combustível que é queimado pelo foguete estará no sentido oposto:

F = m ˙ u = 1 k g s 120 m s = 120   N

Passo 2

Agora vamos aplicar a segunda lei de Newton sobre o foguete:

∑ F x = m a x

F - P x = m a x

120 - m g sen ⁡ 10 ° = m a x

Lembrando que a massa não é constante:

120 - 70 - t g sen ⁡ 10 ° = 70 - t a x

E nosso objetivo aqui é calcular a velocidade máxima que o foguete atinge, então vamos reescrever a aceleração como:

a x = d v d t

Então:

120 - 70 - t g sen ⁡ 10 ° = 70 - t d v d t

d v d t = 120 70 - t - g sen ⁡ 10 °

E isso é uma equação diferencial separável! Podemos resolvê-la para encontrar a velocidade em função do tempo.

Passo 3

Começamos separando as variáveis:

d v = 120 70 - t - g sen ⁡ 10 ° d t

Integramos agora quando t vai de t = 0 até algum instante t , e a velocidade vai de v = 0 até algum valor v .

∫ 0 v d v = ∫ 0 t 120 70 - t - g sen ⁡ 10 °   d t

A integral da esquerda é simplesmente v , e vamos resolver as da direita separadamente:

∫ 0 t 120 70 - t   d t = - 120 ln ⁡ | t - 70 | + 120   l n ⁡ ( 70 )

E:

∫ 0 t - g sen ⁡ 10 °   d t = - g t sen ⁡ 10 °

Então nossa equação para a velocidade é:

v = - 120 ln ⁡ | t - 70 | + 120 ln ⁡ 70 - g t sen ⁡ 10 °

Passo 4

A velocidade máxima é atingida quando todo o combustível é queimado. Como temos 10   k g de combustível, e queimamos a uma taxa de 1   k g / s , a velocidade máxima é atingida no instante t = 10   s .

Vamos substituir isso na nossa expressão:

v = - 120 ln ⁡ | t - 70 | + 120 ln ⁡ 70 - g t sen ⁡ 10 °

v = ( 120 ) ln ⁡ 70 | t - 70 | - g t sen ⁡ 10 °

v = 120 ln ⁡ 70 60 - ( 9,81 ) ( 10 ) ( sen ⁡ 10 ° )

v = 1,46   m / s

Resposta

A velocidade máxima atingida pelo veículo é v = 1,46   m / s .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Um terminal marítimo para descarga de trigo a granel de um navio é equipado com um tubo vertical com um bocal em A que suga o trigo para cima pelo tubo e o transfere para o edifício de armaznemaneto.
A viabilidade de uma aeronave V T O L (na sigla em inglês para decolagem e aterrisagem vertical) para apenas um passageito está sendo analisada. O projeto preliminar utiliza um pequeno motor com uma a
O tubo de retorno com 180 ° descarrega água salgada (massa específica de 1030k g / m 3 ) no ambiente a uma taxa constante de 0,050m 3 / s . A pressão estática da água na seção A é de 70 k P a acima da
Uma máquina rotativa para limpar estradas de neve montada sobre um grande caminhão abre seu caminho através de uma amontoado de neve em uma estrada horizontal a uma velocidade constante de 20k m / h .
Um veículo experimental projetado para estudos de impacto possui uma massa m = 1,4t e é acelerado a partir do repouso pela ação de um jato de água em alta velocidade sobre o defletor curvo preso na tr