Enunciado

Na figura é apresentado um sistema utiliado para deter o movimento de um avião que pousa em um campo de comprimento restrito. O avião de massa m se deslocando livremente com uma velocidade v 0 se prende a um gancho que puxa as extremidades de duas correntes pesadas, cada uma de comprimento e massa ρ por unidade de comprimento, da forma indicada. Um cálculo conservativo da efetividade do dispositivo ignora a desaceleração causada pelo atrito da corrente no solo e qualquer outra resistência ao movimento do avião. Com essas hipóteses, calcule a velocidade v do avião no instante em que o último elo de cada corrente é posto em movimento. Determine também a relação entre o deslocamento e o tempo t após o contato com a corrente. Assuma que cada elo da corrente adquire sua velocidade v subitamente no contato com os elos em movimento.

Passo 1

Vamos tratar o avião e a parte da corrente que está em movimento como se fosse um sistema só. Nesse caso, já que podemos desprezar todo tipo de atrito, não existe nenhuma força externa agindo sobre o sistema:

∑ F = m v ˙ + m ˙ u

0 = m v ˙ + m ˙ u

Mas a massa é variável, já que uma “quantidade” cada vez maior de corrente está em movimento. Vamos escrever uma expressão para essa massa:

m = M + 2 ρ x 2 = M + ρ x

Onde M é a massa do avião e ρ é a massa por unidade de comprimento da corrente. E a partir disso podemos encontrar o seguinte:

m ˙ = ρ x ˙ = ρ v

Além disso, a velocidade u com que novos pedaços de corrente “entram no sistema” é igual a velocidade do avião, ou seja:

u = v

Então nossa equação fica:

0 = ( M + ρ x ) v ˙ + ρ v v

Passo 2

Queremos encontrar a velocidade do avião no instante em que o último elo de cada corrente “entra” no sistema, então precisamos de uma função que dê a velocidade em função do tempo.

Podemos reescrever a nossa equação de cima do seguinte jeito:

( M + ρ x ) d v d t + ρ v d x d t = 0

M + ρ x d v + ρ v   d x = 0

d v v = - ρ M + ρ x   d x

Integrando:

∫ v 0 v d v v = - ∫ 0 x ρ M + ρ x   d x

ln ⁡ v v 0 = - ln ⁡ M + ρ x M

Aplicando a exponencial sobre tudo isso:

v v 0 = M M + ρ x

E então a velocidade final é dada poro:

v = M v 0 M + ρ x

E olhando para a figura podemos ver que a velocidade que queremos calcular acontece quando x = 2 L :

v = M v 0 M + 2 ρ L

v = v 0 1 + 2 ρ L M

Passo 3

A seguir queremos achar uma função para o deslocamento x em função do tempo. Para isso precisamos reescrever v da seguinte forma:

v = d x d t

d x d t = v 0 1 + ρ x M

1 + ρ x M d x = v 0   d t

E integrando:

∫ 0 x 1 + ρ x M d x = ∫ 0 t v 0   d t

x + ρ x 2 2 M = v 0 t

E podemos resolver essa equação do segundo grau para encontrar x ( t ) .

Passo 4

A equação é:

ρ x 2 2 M + x - v 0 t = 0

x 2 + 2 M ρ x - 2 M v 0 t ρ = 0

E aplicando a fórmula de Bhaskara:

x = - 2 M ρ ± 2 M ρ 2 - 4 1 - 2 M v 0 t ρ 2

x = - M ρ ± 1 2 4 M 2 ρ 2 + 8 M v o t ρ

Podemos colocar a razão M / ρ em evidência:

x = M ρ 1 + 2 v 0 t ρ M - 1

Mas o enunciado pediu para chamarmos a massa do avião de M , então vamos ajustar:

x = m ρ 1 + 2 v 0 t ρ m - 1

Resposta

A velocidade é v = v 0 1 + 2 ρ L M   e o deslocamento é x = m ρ 1 + 2 v 0 t ρ m - 1 .

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