Enunciado

As extremidades do vaso de pressão cilíndrico são fechadas com tampas semiesféricas para reduzir a tensão de flexão que ocorreria se as tampas fossem planas. As tensões de flexão nas linhas de junção entre as tampas e o corpo podem ser eliminadas com a escolha adequada das espessuras t h e   t c das tampas e do cilindro, respectivamente. Isso requer que a expansão radial seja a mesma para o cilindro e para as semiesferas. Mostre que essa relação é t c / t h   =   ( 2   - v   ) / ( 1   - v   ) . Considere que o vaso é feito do mesmo material e que ambos, cilindro e semiesferas, têm o mesmo raio interno. Se a espessura do cilindro for 12   m m , qual será a espessura exigida para as semiesferas? Considere v = 0,3 .

Passo 1

Vamos lá!!

O vaso de pressão da questão consiste em duas regiões, uma cilíndrica e outra semiesférica, portanto, teremos tensões diferentes em cada uma dessas regiões. E para termos a mesma expansão radial em ambos os seguimentos, o d r no cilindro tem que ser igual a um d r na região semiesférica.

Dados fornecidos:

v = 0,3

t c =   12   m m

Para a região cilíndrica:

σ 1 = p r t

σ 2 = p r 2 t

σ 3 = 0  

Região semiesférica:

σ 1 = p r 2 t

σ 2 = p r 2 t

σ 3 = 0  

Agora nos resta determinar quais são as deformações provenientes dessas tensões. Para isso utilizaremos essas equações:

ϵ x = 1 E σ x - v σ y + σ z

d r = ϵ 1 r

Passo 2

Agora partiremos para a análise das tensões.

Região cilíndrica:

Ao isolarmos um elemento de volume na casca do vaso de pressão cilíndrico temos que σ 1 é tensão normal que atua na direção circunferencial e σ 2 é a tensão normal que atua no sentido longitudinal ou axial do vaso.

Por isso podemos definir como:

σ 1 = σ x

σ 2 = σ y

σ 3 = σ z

Sendo assim temos que o aumento do raio interno do cilindro é:

d r = ϵ 1 r

ϵ 1 = 1 E σ 1 - v σ 2 + σ 3

ϵ 1 = 1 E p r t c - v p r 2 t c + 0

ϵ 1 = p r E t c 1 - v 2

d r = p r 2 E t c 1 - v 2

A região semiesférica segue o mesmo raciocínio da região cilíndrica só com a diferença que σ 1 = σ 2 , teremos então:

σ 1 = σ x

σ 2 = σ y

σ 3 = σ z

Sendo assim temos que o aumento do raio interno da semiesfera é:

d r = ϵ 1 r

ϵ 1 = 1 E σ 1 - v σ 2 + σ 3

ϵ 1 = 1 E p r 2 t h - v p r 2 t h + 0

ϵ 1 = p r 2 E t h 1 - v

d r = p r 2 2 E t h 1 - v

Passo 3

Para não existir tensões de flexão nas linhas de junção o valor de d r do cilindro deve ser o mesmo do d r das semiesferas.

d r ( c i l i n d r o ) = d r ( s e m i e s f e r a )

p r 2 E t c 1 - v 2 = p r 2 2 E t h 1 - v

1 t c 1 - v 2 = 1 2 t h 1 - v

Manipulando a equação para obter a relação exigida pela questão, t c t h .

t c t h = 2 - v 1 - v

Com um valor de t c = 12   m m e v = 0,3 .

12 t h = 2 - 0,3 1 - 0,3

t h = 4,94   m m

Resposta

t h = 4,94   m m

t c t h = 2 - v 1 - v

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