Enunciado

Um vaso de pressão esférico de parede fina com raio interno r e espessura t é submetido a uma pressão interna p . Mostre que o aumento de volume no interior do vaso é Δ V   =   ( 2 p π r 4   / E t ) ( 1   - v   ) . Use uma análise de pequenas deformações.

Passo 1

Vamos para mais uma demonstração?

Então pessoal, o aumento do volume do vaso esférico está correlacionado com o aumento do raio ocasionado pelas tensões. Como o vaso é cilíndrico, teremos que:

σ 1 = σ 2 = p r 2 t

σ 3 = 0

E as deformações provocadas pelas tensões é:

ϵ 1 = ϵ 2 = 1 E σ 1 - v σ 2 + σ 3

E o volume inicial dele:

V = 4 3 π r 3

Passo 2

Primeiro vamos analisar qual vai ser o volume final do vaso após a aplicação das tensões.

V + Δ V = 4 3 π ( r + Δ r ) 3

V + Δ V = 4 3 π r 3 1 + Δ r r 3

Como a questão sugeriu que usássemos uma análise para pequenas deformações podemos fazer a seguinte aproximação:

V + Δ V = 4 3 π r 3 1 + 3 ⋅ Δ r r

Podemos escrever também:

Δ V = 4 3 π r 3 3 Δ r r

A variação volumétrica em um elemento de volume do vaso é dada por:

e v o l = Δ V V = 3 Δ r r

Passo 3

Analisando as deformações ϵ 1 e ϵ 2 podemos deduzir duas expressões.

A primeira pela formula:

ϵ 1 = 1 E σ 1 - v σ 2

ϵ 1 = 1 E p r 2 t - v p r 2 t

ϵ 1 = p r 2 t E 1 - v

E a segunda pelo significado dela, a deformação ϵ 1 pode ser descrita como:

ϵ 1 = 2 π r + Δ r - 2 π r 2 π r

ϵ 1 = Δ r r

Logo:

e v o l = Δ V V = 3 ϵ 1

e v o l = 3 p r 2 t E 1 - v

Sendo assim:

Δ V = V ⋅ e v o l = 4 3 π r 3 3 p r 2 t E 1 - v

Δ V = 2 p π r 4 E t 1 - v

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

0 tubo rígido é sustentado por um pino em C e um cabo de ancoragem A B de aço A - 36 . Se o diâmetro do cabo for 5 m m determine o quanto ele é esticado quando uma carga P = 1,5k N age sobre o tubo. O
O tubo rígido é sustentado por um pino em C e um cabo de ancoragem A B de aço A - 36 . Se o diâmetro do cabo for 5m m , determine a carga P se a extremidade B for deslocada 2,5m m para a direita.
Ao ser submetido a um ensaio de tração, um corpo de prova de liga de cobre com comprimento de referência de 50m m sofre uma deformação de 0,40m m / m m quando a tensão é de 490M P a . Se σ e =315M P a
O diâmetro da parte central do balão de borracha é d = 100 mm. Se a pressão do ar em seu interior provocar o aumento do diâmetro do balão até d = 125 mm, determine a deformação normal média na borrach
Se a deformação normal for definida em relação ao comprimento final, isto é: em vez de em relação ao comprimento original, mostre que a diferença entre essas deformações é representada como um termo d