Enunciado

Demonstre as equações 1.15 pode ser obtido utilizando-se o requisito de que as transformação deixa inalterado o comprimento de um seguimento.

Passo 1

Oi galera !!, vamos responder mais uma questão do nosso livro de Dinâmica clássica de partículas e sistemas.

Para essa questão vamos primeiro procura nossa equação no livro,

∑ λ i j λ j k = δ j k

E esta equação descrita acima está relacionada com a rotação ou mudança de base de um sistema de coordenadas. E que o módulo de um valor não será afetado pela grandeza do sistema.

Assim, vamos propor um segmento arbitrário para um sistema x j   e x j ´ para um novo sistema. Onde seus comprimento serão iguais, ou seja, independe da transformação.

Passo 2

Neste passo, é considerado L e L ' onde são comprimento iguais L = L ' . E que esses comprimentos podem ser representados por,

L = ∑ j x j 2 ;         L ´ = ∑ i x i ´ 2

Como são iguais,

∑ j x j 2 = ∑ i x i ´ 2

∑ j x j 2 = ∑ i x i ´ 2

Onde é proposto como transformação,

x j ´ = ∑ j λ i j x i

Assim, substituindo na transformação encontramos,

∑ j x j 2 = ∑ i ∑ k λ i k x k ∑ l λ i l x l

∑ j x j 2 = ∑ k , l x k x l ∑ i λ i k λ i l

Resposta

Assim, encontramos que por meio da contração dos termos, podemos provar

∑ j x j 2 = ∑ k , l x k x l ∑ i λ i k λ i l

∑ λ i j λ j k = δ j k

Espero que ajudem nos estudos, até próxima

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Utilize a notação epsilon_i j k e derive a identidade(A xx B) xx (C xx D) = (A B D) C - (A B C) D