Enunciado

Determinar a distribuição de tensões de cisalhamento ao longo da linha D ' B ' na perna horizontal do perfil cantoneira com o carregamento mostrado. Os eixos x ' e y ' são eixos centroidais principais da seção transversal.

Passo 1

Iremos deduzir a fórmula de cisalhamento para a linha D ' B ' em função de y , para qualquer valor de y teremos um resultado diferente para tal.

Primeiramente vamos decompor o vetor P , para entendermos atuação da carga.

Reescrevi o eixo parcial y ' para que ficasse mais fácil de encher o triângulo retângulo.

Aplicando trigonometria, temos:

cos ⁡ θ = P x ' P

P x ' = P cos ⁡ θ

Para outra componente:

s e n   θ = P y ' P

P y ' = - P ∙ s e n   θ

Negativo, pois o sentido é contrária a tensão cisalhante.

Passo 2

Temos que determinar agora as coordenadas dos centroides dos nosso eixos superpostos, x ¯ ' e y ' ¯ .

Para isto, segue um desenho para ajudar:

Com isto teremos as seguintes coordenadas:

A y = 2 a - y ∙ t

y ¯ = 1 2 2 a + y

e

x ¯ = 0

Mas perceba que estas coordenadas que determinamos aqui não são referentes aos eixos y ' , x ' . Portanto, vamos transformar estas coordenadas:

y ' = y - 2 3 a cos ⁡ θ   - x - 1 6 a s e n   θ

x ' = x - 1 6 a cos ⁡ θ + y - 2 3 a   s e n   θ

E para centroides:

y ' ¯ = y ¯ - 2 3 a cos ⁡ θ   - x ¯ - 1 6 a s e n   θ

Substituindo y ¯ , x ¯   e simplificando ao máximo:

y ' ¯ = 1 2 y + 1 3 a cos ⁡ θ - - 1 6 a   s e n   θ

Substituindo θ = 15,8 °

y ' ¯ = 0,4811 y + 0,36612   a

Para coordenada x ' :

x ' ¯ = x ¯ - 1 6 a cos ⁡ θ + y ¯ - 2 3 a   s e n   θ

Substituindo y ¯ , x ¯   e simplificando ao máximo:

x ' ¯ = x ¯ - 1 6 a cos ⁡ θ + y ¯ - 2 3 a   s e n   θ

x ' ¯ = - 1 6 a cos ⁡ θ + 1 2 y + 1 3 a   s e n   θ

Substituindo θ = 15,8 °

x ' ¯ = 0,13614   y - 0,06961   a

Passo 3

Agora que temos todas as coordenadas, podemos determinar a tensão de cisalhamento na linha D ' B ' .

A tensão máxima será a soma da tensão de cisalhamento das duas coordenadas.

τ D ' B '   = τ x ' + τ y ' = V x A x ' ¯ I y ' t + V y ' y ' ¯ I x ' t

Substituindo nossos cálculos anteriores:

τ D ' B ' = P cos ⁡ θ ∙ 2 a - y ∙ t ∙ 0,13614 y - 0,06961 a 0,1557 t a 3 ∙ t

+ - P   s e n θ ∙ 2 a - y ∙ 0,4811 y + 0,36612 a 1,428   a 3 t ∙ t

τ D ' B '   = P 2 a - y 0,750 y - 0,5 a t a 3

Para qualquer valor de a ou y teremos a tensão cisalhante distribuída na marra D ' B '

Resposta

τ D ' B '   = P 2 a - y 0,750 y - 0,5 a t a 3

Para qualquer valor de a ou y teremos a tensão cisalhante distribuída na marra D ' B '

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