Enunciado

Determine a carga distribuida uniforme máxima w 0 N / m que o cabo pode suportar se ele é capaz de sustentar uma tração máxima de 60   k N .

Passo 1

O problema quer que a gente encontre a carga distribuída máxima w 0 .

Vamos usar a equação do cabo:

y = 1 F H ∫ ∫ w x   d x d x

y = 1 F H w 0 2 x 2 + C 1 x + C 2

Então, vamos derivar y :

d y d x = 1 F H ( w 0 x + C 1 )

Vamos as condições de fronteiras:

Onde y = 0 e x = 0 , na equação:

0 = 1 F H w 0 2 ( 0 ) 2 + C 1 ( 0 ) + C 2

Assim, encontramos:

C 2 = 0

E da outra equação:

Onde d y d x = 0 e x = 0 :

0 = 1 F H ( w 0 ( 0 ) + C 1 )

E temos:

C 1 = 0

Então:

y = 1 F H w 0 2 x 2 = w 0 x 2 2 F H

d y d x = 1 F H w 0 x = w 0 x F H

Passo 2

Então, agora a gente vai pegar aquela equação, e calcular ela no ponto em que y = 7   m e x = 30   m :

y = w 0 x 2 2 F H

7 = w 0 30 2 2 F H

Logo:

F H = 450 7 w 0

Passo 3

E como já sabemos a derivada é a tangente de um ângulo que vamos chamar de θ .

A tensão máxima ocorre quando θ = θ m a x e vamos usar o x = 30   m .

tan ⁡ θ m a x = d y d x = w 0 450 7 w 0 x = 0,01556 30 = 0,4667

tan ⁡ θ m a x = 0,4667

θ m a x = 25,02 °

Por fim, vamos calcular a tensão máxima no cabo:

T m a x = F H cos ⁡ ( θ m a x )

60 = 450 7 w 0 cos ⁡ ( 25,02 ° )

Assim, encontramos:

w 0 = 0,846   k N / m

Resposta

w 0 = 0,846   k N / m

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